哈利·波特与魔法石

题目描述

输入格式

文件中第一行有七个数，分别是 S1、 S2 、 …、 S7 ；第二行有两个数，依次分别是起点城市 i 和终点城市 j ；第三行有一个正整数 c ，c<=10000， 表示随后的 c 行中每行存放了一对能直接通达的城市的信息。 能直接通达的城市的信息由三个数组成， 依次分别是两个城市的编号和这两个城市之间的地形。城市的编号都是不超过 100 的正整

数， 但是各个城市的编号未必连续。 文件里同一行中相邻的两个数都是用一个空白字符隔开的。

输出格式

以一行的形式输出起点城市i 与终点城市 j 之间的最快路线所需要的时间。

样例

样例输入

0 1 0 0 0 0 0
1 4
4
1 2 1
1 3 1
2 4 2
3 4 3

样例输出

5

解题思路

读地后发现，此题只是一个简单的最短路，使用迪克斯特拉算法即可简单解决：

迪杰斯特拉算法是一种用于解决单源最短路径问题的经典算法。它由荷兰计算机科学家艾兹赫尔·迪杰斯特拉于$1956$年提出，被广泛应用于网络路由、交通规划、电信网络等领域。

该算法的目标是找到从给定源节点到所有其他节点的最短路径。它通过逐步扩展路径的方式来实现这一目标。算法的基本思想是，从源节点开始，逐步选择当前路径上最短的节点，并更新与该节点相邻的节点的距离。通过不断迭代，最终得到从源节点到所有其他节点的最短路径。

具体来说，迪杰斯特拉算法包含以下步骤：

1. 初始化：将源节点的距离设置为$0$，将所有其他节点的距离设置为无穷大。

2. 选择当前路径上距离最短的节点，并标记该节点为已访问。

3. 更新距离：对于当前节点的所有邻居节点，计算通过当前节点到达邻居节点的距离，并与邻居节点的当前距离进行比较。如果通过当前节点到达邻居节点的距离更短，则更新邻居节点的距离。

4. 重复步骤$2$和步骤$3$，直到所有节点都被访问过或者没有可达节点为止。

最终得到从源节点到所有其他节点的最短路径。

迪杰斯特拉算法的时间复杂度为$O(V^2)$，其中V表示节点的数量。然而，通过使用优先队列等数据结构，可以将时间复杂度优化到$O((V+E)logV)$，其中E表示边的数量。

迪杰斯特拉算法的优点是能够处理带有非负权重的图，并且对于稠密图效果较好。然而，该算法无法处理带有负权重的图，且在处理稀疏图时可能效率较低。

总之，迪杰斯特拉算法是一种经典的用于解决单源最短路径问题的算法，通过逐步扩展路径并更新节点的距离，找到从源节点到所有其他节点的最短路径。它在网络路由、交通规划等领域有着广泛的应用。

AC 代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;
int a[300][300],d[300],v[300],h[10]={0,2,6,4,8,6,10,14},s,t,u,k,m,n,x,y,z,minn;
int main()
{
	memset (a,0x3f,sizeof(a));
	memset (d,0x3f,sizeof(d));
	for (int i=1;i<=7;i++)
	{
		cin >>u;
		if (u)
			h[i]/=2;
	}
	cin >>s >>t >>m;
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		cin >>x >>y >>z;
		a[x][y]=a[y][x]=h[z];
	}
	for (int i=1;i<=100;i++)
		a[i][i]=0,d[i]=a[s][i];
	v[s]=1;
	for (int i=1;i<=100;i++)
	{
		k=0; minn=d[0];
		for (int j=1;j<=100;j++)
			if (v[j]==0 and d[j]<minn)
			{
				minn=d[j];
				k=j;
			}
		v[k]=1;
		for (int j=1;j<=100;j++)
			if (d[j]>d[k]+a[k][j] and v[j]==0)
				d[j]=d[k]+a[k][j];
	}
	cout <<d[t];
	return 0; 
}