前言：最近要用C++对信号进行一维傅里叶变换，但是对傅里叶变换的内容有些遗忘了，同时自己对FFTW使用也不太了解，所以写下此篇方便以后回顾。

VS项目配置FFTW3

FFTW ( the Faster Fourier Transform in the West) 是一个快速计算离散傅里叶变换的标准C语言程序集。

1. FFTW包下载：FFTW网站下载对应版本的zip文件，并解压。
2. Window10开始菜单栏中，搜索“X64 Native Tools Commond Prompt for VS xx”，打开运行“lib.exe”命令。
   
3. 跳转到解压缩后的库文件目录下，依次输入如下命令生成lib库。

lib /machine:x64 /def:libfftw3-3.def
lib /machine:x64 /def:libfftw3l-3.def
lib /machine:x64 /def:libfftw3f-3.def

5. 把fftw3.h文件加入VS项目的include文件夹中；将libfftw3-3.dll、libfftw3f-3.dll、libfftw3l-3.dll文件加入VS项目的bin文件夹中；VS项目中配置好相关lib，“项目-属性-连接器-输入”中补上libfftw3-3.dll、libfftw3f-3.dll和ibfftw3l-3.dll，“项目-属性-连接器-常规-附加库目录”中补上三个lib的地址的地址。

一维傅里叶变换的理解

傅里叶变换（Fourier transform）：将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。

狄里赫莱条件：进行傅里叶变换的函数要满足狄里赫莱条件，有限个间断点；有限个极值点；绝对可积。

时域和频域：以一维傅里叶变换为例子，时域图像是信号随着时间的变换图，频域图像是傅里叶变换后不同频率的振幅。

FFTW3使用一维傅里叶变换

实际中，信号都是采样得到的，并不是连续的，而是很多个离散的点组成，假设有N个点。

fftw_complex* DataIn = (fftw_complex*)fftw_malloc(sizeof(fftw_complex) * N);
fftw_complex* DataOut = (fftw_complex*)fftw_malloc(sizeof(fftw_complex) * N);
fftw_plan plan = fftw_plan_dft_1d(N, DataIn, DataOut, FFTW_FORWARD, FFTW_ESTIMATE);
// 进行傅里叶变换
fftw_execute(plan);
// 输出幅度谱
for (int i = 1; i < len; i++)
{
	float len = sqrt(DataOut[i][0]*DataOut[i][0] + DataOut[i][1]*DataOut[i][1])/(N/2);
	printf("%.2f ", len);
}

代码参数解释：N表示有N个采样点；DataIn是输入数据；DataOut是输出数据；FFTW_FORWARD为正傅里叶变换（时域变到频域），FTW_BACKWARD为逆傅里叶变换（频域变到时域）；FFTW_MEASURE表示准确计算，FFTW_ESTIMATE表示快速估计。

一维傅里叶变换后：

1. N个采样点，经过DFT（离散傅里叶变换）之后，可以得到N个点的DFT结果，这N个点是以复数形式存储的。
2. 第1个点表示0HZ，0Hz就是没有波动，专业一点叫做直流分量。从第1个点到N个点，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加，每个点之间的间隔是Fs/N（Fs是采样频率）。
3. DFT后，只需要前N/2个结果即可。一方面是因为采样频率是数字信号频率的两倍及以上，另一方面是FFT后结果是对称的。
4. DFT变换后 ，数值不是真实的幅值，需要进行转换。假设说原始信号峰值是A，DFT变化后，除了第1个点直流分量是A的N倍，每个点的模值是A的N/2倍。（通常可以按照需求进行福值转换，有时候幅值很大，会采取log进行减小，以满足需求）