DP（状态机模型）

news2024/9/27 12:10:21

大盗阿福

阿福是一名经验丰富的大盗。趁着月黑风高，阿福打算今晚洗劫一条街上的店铺。

这条街上一共有 N 家店铺，每家店中都有一些现金。

阿福事先调查得知，只有当他同时洗劫了两家相邻的店铺时，街上的报警系统才会启动，然后警察就会蜂拥而至。

作为一向谨慎作案的大盗，阿福不愿意冒着被警察追捕的风险行窃。

他想知道，在不惊动警察的情况下，他今晚最多可以得到多少现金？

输入格式

输入的第一行是一个整数 T，表示一共有 T 组数据。

接下来的每组数据，第一行是一个整数 N ，表示一共有 N 家店铺。

第二行是 N 个被空格分开的正整数，表示每一家店铺中的现金数量。

每家店铺中的现金数量均不超过1000。

输出格式

对于每组数据，输出一行。

该行包含一个整数，表示阿福在不惊动警察的情况下可以得到的现金数量。

数据范围

1≤T≤50
1≤N≤10^5

输入样例：

输出样例：

8
24

样例解释

对于第一组样例，阿福选择第2家店铺行窃，获得的现金数量为8。

对于第二组样例，阿福选择第1和4家店铺行窃，获得的现金数量为10+14=24。

线性DP

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int f[N];
int w[N];
int main()
{
    int t;scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        int n;scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&w[i]);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            f[i]=max(f[i-1],f[i-2]+w[i]);
        }
        cout<<f[n]<<endl;
    }
    return 0;
}

状态机的写法

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=1e5+10,INF=1e9;
int f[N][2];
int w[N];
int main()
{
    int t;scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        int n;scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&w[i]);
        f[0][0]=0,f[0][1]=-INF;//f[0][1]=0也可 f[0][0]与f[0][1]相当于入口 入口肯定接到f[1][0]上肯定接到0 上
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            f[i][0]=max(f[i-1][0],f[i-1][1]);
            f[i][1]=f[i-1][0]+w[i];
        }
        printf("%d\n",max(f[n][0],f[n][1]));
    }
    return 0;
    
}

股票买卖 IV

给定一个长度为 N 的数组，数组中的第 i 个数字表示一个给定股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润，你最多可以完成 k 笔交易。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。一次买入卖出合为一笔交易。

输入格式

第一行包含整数 N 和 k，表示数组的长度以及你可以完成的最大交易笔数。

第二行包含 N 个不超过 10000 的正整数，表示完整的数组。

输出格式

输出一个整数，表示最大利润。

数据范围

1≤N≤10^5
1≤k≤100

输入样例1：

3 2
2 4 1

输出样例1：

输入样例2：

6 2
3 2 6 5 0 3

输出样例2：

样例解释

样例1：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。

样例2：在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4 。随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。共计利润 4+3 = 7.

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=1e5+10,M=110;
int f[N][M][2];//f[i][j][k]表示在前i天的股票中，第i天的决策是k，完成的交易数为j的最大利润
int w[N];
int main()
{
    int n,k;cin>>n>>k;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>w[i];
    memset(f,-0x3f,sizeof f);//对于集合范围的定义，除了状态转移，还要注意状态的起点
                            //去找符合集合定义的起点，再把不符合的全部初始化掉就好了
    for(int i=0;i<=n;i++) f[i][0][0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=k;j++)
        {
            f[i][j][0]=f[i-1][j][0];//0->0(空仓 还是j决策)
           //1 -> 0 (卖出) 买入到卖出都是一次决策 故决策还是j
            if(j) f[i][j][0]=max(f[i][j][0],f[i-1][j][1]+w[i]);// 1 - > 0 
            //1 ->  1(持仓) 0 - >1(买入) 在上一次空仓的基础上买入是一场决策是j-1  这一次是j
            f[i][j][1]=max(f[i-1][j][1],f[i-1][j-1][0]-w[i]);
            
        }
    }
    int res=0;
    for(int j=0;j<=k;j++)
    {
        res=max(res,f[n][j][0]);
    }
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}