1.AVL树

1.1.AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

$\bullet$ 它的左右子树都是AVL树

$\bullet$ 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在

$log_{2}^{N}$ ，搜索时间复杂度 $O(log_{2}^{N})$

下面四棵树，一二三是AVL树，每个结点都满足其左右子树高度差的绝对值不超过1，四不是AVL树，因为其3结点的左子树高度是2，右子树高度是0，高度差的绝对值为2

可以看出，相比满二叉树，完全二叉树最后一层会缺一些结点，而AVL树最后两层会缺一些结点。

1.2.AVL树节点的定义

AVL树节点的定义：
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	pair<K, V> _kv;
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;

	// 右子树-左子树的高度差
	int _bf;  // balance factor
};
注：

1.AVL树使用三叉链，每个树结点中使用_parent成员变量保存其父节点的地址。

2.树节点中有一个_bf成员变量，该成员变量是balance factor的缩写，记录该节点右子树-左子树的高度差。AVL树并没有规定必须要设计平衡因子，这里使用平衡因子只是一个实现的选择，方便控制平衡。