latex常见用法如下：https://blog.csdn.net/ViatorSun/article/details/82826664

高等教育出版社 **浙江大学《概率论与数理统计》**一 书关于泊松过程的推导如下：

理解了上面的思路才能更好的理解泊松过程的数学模型和本质。
上面的思路是：

1. 将时间过程分解为两部分，第一部分是事件不可微分的时间间隔，第二部分是事件发生次数可以微分的时间间隔，这两个部分是概率相乘的关系（而不是相加）。
2. 先算出k=0时的泊松过程，然后计算k>=1时的泊松过程方程，依赖的数学知识是导数和求解微分方程，整个过程严密有条理。
3. 复现推导过程。
   （1）当k = 0时：
   $$\begin{gathered} P_0(t_0,t+\Delta t)=P_0(t_0,t)P_0(t,t+\Delta t)=P_0(t_0,t)(1-\lambda \Delta t-o(\Delta t)) \\ 即: \\ \underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{P_0(t_0,t+\Delta t)-P_0(t_0,t)}{\Delta t}=-\lambda P_0(t_0,t)-\frac{o(\Delta t)P_0(t_0,t)}{\Delta t} \\ 即：P_0(t_0,t)=e^{-\lambda (t-t_0)} \end{gathered}$$

（2）当k大于等于1时：

$$\begin{gathered} P_k(t_0,t+\Delta t)=P_{k-j}(t_0,t)P_j(t,t+\Delta t)= \\ {P}_k(t_0,t)P_0(t,t+\Delta t)+P_{k-1}(t_0,t)P_1(t,t+\Delta t)+o(\Delta t)= \\ {P}_k(t_0,t)(1-\lambda \Delta t-o(\Delta t))+P_{k-1}(t_0,t)(\lambda \Delta t)+o(\Delta t) \\ 即: \\ \underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{P_k(t_0,t+\Delta t)-P_k(t_0,t)}{\Delta t}=-\lambda P_k(t_0,t)+\lambda P_{k-1}(t_0,t)+o(\Delta t) \\ 即：P_k(t_0,t)=e^{-\lambda (t-t_0)} \\ 注意：此处需要求解一阶非齐次微分方程: \\ 假设u^{\prime }=\lambda u，即du/dt=\lambda dt，可得：u=C_1{e}^{\lambda t}带入上述一元非齐次微分方程可得: \\ d{P}_1/dt=-\lambda P_1+\lambda e^{-\lambda t} \\ d{P}_{1}u+\lambda P_{1}u=u\lambda e^{-\lambda t}dt \\ (P_{1}u{)}^{\prime }=u\lambda e^{-\lambda t}dt \\ {P}_{1}u=\int u\lambda e^{-\lambda t}dt=\int \lambda e^{-\lambda t}{e}^{\lambda t}dt=\int \lambda dt \\ {P}_1=e^{-\lambda t}\int \lambda dt=\lambda t{e}^{-\lambda t} \end{gathered}$$
（3）当k大于等于2时：

$$P_k=\frac{(\lambda (t-t_0){)}^k}{!k}{e}^{-\lambda (t-t_0)}$$

（4）当$\lambda$是关于t的函数时，最终推导结果如下：
$$P_k=\frac{(\int \lambda (t-t_0)dt{)}^k}{!k}{e}^{-\int \lambda (t-t_0)dt}$$