函数	概率密度函数(PDF)	备注
binomial(n, p)	$P(k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$	二项分布
poisson([lam])	$f(k)=\frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}$	泊松分布
multinomial(n, pvals)		多项分布

从二项分布到泊松分布

二项分布

在理解多项分布之前，需要建立起二项分布的基本概念，在$N$次独立重复的伯努利试验中，设A在每次实验中发生的概率均为$p$。则$N$次试验后A发生$k$次的概率分布，就是二项分布，记作$X\sim B(n,p)$，则

P { X = k } = ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k P\{X=k\}=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} P{X=k}=(kn​)pk(1−p)n−k

import numpy as np
from numpy.random import binomial
import matplotlib.pyplot as plt

fig = plt.figure()
ps = [0.2, 0.5, 0.7]
for i in range(3):
    ax = fig.add_subplot(1,3,1+i)
    ax.set_title(f"p={ps[i]}")
    for n in [50,100,200]:
        xs = binomial(n, ps[i], size=10000)
        ax.hist(xs, bins=100, alpha=0.6, label=f"n={n}")
    plt.legend()

plt.show()

效果如图所示

可见随着p越来越大，$X$发生的概率越来越趋近于$n$。

多项分布

多项分布是对二项分布的一个自然的推广。

二项分布最常见的案例就是投硬币，那么投掷硬币可能有两个结果产生，所以谓之二项；如果把硬币改成骰子，由于骰子有6个面，相当于每次对应六个可能发生的结果，从而可以谓之六项分布。总而言之，把一个总体按照某种属性分成有限个类的时候，就会涉及到多项分布，其概率表达式为

$$P(X_1=n_1,\cdots ,X_r=n_r)=\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_r!}{p}_1^{n_1}{p}_2^{n_2}\cdots p_r^{n_r}$$

当$r=2$时，多项分布就退化为了二项分布。

在Python中，多项分布函数为

multinomial(n, pvals)

其中，pvals为一个数组，用于表示每个事件发生的概率，而且pvals之和为1，这也很好理解，以仍骰子为例，每个面的概率是$\frac{1}{6}$，其和必为1。

由于多项分布的这种多元性质，multinomial与np.random中的其他分布有一个重要区别，即多项分布得到的随机数组是二维的，如果pvals中有N项，那么输出结果就有$N$列。

import numpy as np
from numpy.random import multinomial
import matplotlib.pyplot as plt

ps = [0.1, 0.2, 0.3, 0.4]
xs = multinomial(300,  pvals=ps, size=20000)
for x,p in zip(xs.T, ps):
    plt.hist(x, bins=150, range=(0,150), 
        alpha=0.5, label=f"p={p}")

plt.legend()
plt.show()

结果为