第三章 图论 No.2单源最短路之虚拟源点,状压最短路与最短路次短路条数

news2024/12/30 3:47:19

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      • 1137. 选择最佳线路
      • 1131. 拯救大兵瑞恩
      • 1134. 最短路计数
      • 383. 观光

dp是特殊的最短路,是无环图(拓扑图)上的最短路问题

1137. 选择最佳线路

1137. 选择最佳线路 - AcWing题库
image.png

// 反向建图就行
#include <iostream>
#include <queue>
#include <cstring>
using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;
const int N = 1e3 + 10, M = 2e4 + 10;
int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx;
int n, m, s;
int a[N];
int dis[N]; bool st[N];

void add(int x, int y, int d)
{
    e[idx] = y, ne[idx] = h[x], w[idx] = d, h[x] = idx ++ ;
}

void dijkstra()
{
    priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> q;
    memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
    memset(st, 0, sizeof(st));
    dis[s] = 0;
    q.push({ dis[s], s });
    while (q.size())
    {
        auto t = q.top(); q.pop();
        int x = t.second, d = t.first;
        if (st[x]) continue;
        st[x] = true;
        for (int i = h[x]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int y = e[i];
            if (dis[y] > d + w[i]) 
            {
                dis[y] = d + w[i];
                q.push({ dis[y], y });
            }
        }
    }
}

int main()
{
    while (~scanf("%d%d%d", &n, &m, &s))
    {
        idx = 0;
        memset(h, -1, sizeof(h));
        int x, y, d;
        while ( m -- )
        {
            scanf("%d%d%d", &x, &y, &d);
            add(y, x, d);
        }
        
        int wn;
        scanf("%d", &wn);
        for (int i = 1; i <= wn; ++ i ) scanf("%d", &a[i]);
        
        dijkstra();
        int res = 0x3f3f3f3f;
        for (int i = 1; i <= wn; ++ i ) res = min(res, dis[a[i]]);
        
        if (res == 0x3f3f3f3f) puts("-1");
        else printf("%d\n", res);
    }
    return 0;
}

对于每组测试数据,该重置的数据要重置,我没有重置idx,导致TLE

处理反向建图,还有一种扩展做法:虚拟源点

设置虚拟源点,与每个起点之间连接边权为0的边
原问题:从多个源点出发,到达终点的最短路径
先问题:从虚拟源点出发,到达终点的最短路径
两者的最短路径一一对应,并且路径和相同
image.png

#include <iostream>
#include <queue>
#include <cstring>
using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;
const int N = 1e3 + 10, M = 3e4 + 10;
int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx;
int n, m, s;
int a[N];
int dis[N]; bool st[N];

void add(int x, int y, int d)
{
    e[idx] = y, ne[idx] = h[x], w[idx] = d, h[x] = idx ++ ;
}

void dijkstra()
{
    priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> q;
    memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
    memset(st, 0, sizeof(st));
    dis[0] = 0;
    q.push({ dis[0], 0 });
    while (q.size())
    {
        auto t = q.top(); q.pop();
        int x = t.second, d = t.first;
        if (st[x]) continue;
        st[x] = true;
        for (int i = h[x]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int y = e[i];
            if (dis[y] > d + w[i]) 
            {
                dis[y] = d + w[i];
                q.push({ dis[y], y });
            }
        }
    }
}

int main()
{
    while (~scanf("%d%d%d", &n, &m, &s))
    {
        idx = 0;
        memset(h, -1, sizeof(h));
        int x, y, d;
        while ( m -- )
        {
            scanf("%d%d%d", &x, &y, &d);
            add(x, y, d);
        }
        
        int wn;
        scanf("%d", &wn);
        for (int i = 1; i <= wn; ++ i ) 
        {
            scanf("%d", &a[i]);
            add(0, a[i], 0);  // 设置虚拟源点
        }
        
        dijkstra();

        if (dis[s] == 0x3f3f3f3f) puts("-1");
        else printf("%d\n", dis[s]);
    }
    return 0;
}

debug:将虚拟源点与起点之间建立边,要注意M的大小是否足够,又是M开小了…


1131. 拯救大兵瑞恩

1131. 拯救大兵瑞恩 - AcWing题库
image.png

从集合的角度分析
状态表示:
集合:起点为左上角,终点为图中任意一点的所有路径,用 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y)表示终点为 [ x , y ] [x, y] [x,y]的路径
属性:最小时间(路径和)
所以 f ( x , y ) f(x, y) f(x,y)表示终点为 [ x , y ] [x, y] [x,y]的最小路径和
但是图中存在无法通过的墙以及需要钥匙打开的门,所以用两个维度表示路径将无法更新集合
考虑增加一个维度 s t a t e state state,状态压缩,表示拥有的钥匙状态
f ( x , y , s t a t e ) f(x, y, state) f(x,y,state)表示拥有钥匙的状态为 s t a t e state state时,递达 [ x , y ] [x, y] [x,y]的最短路

状态计算:
如何划分 f ( x , y , s t a t e ) f(x, y, state) f(x,y,state)?一般的dp问题是从后往前考虑,图论中的集合分析一般从前往后考虑
f ( x , y , s t a t e ) f(x, y, state) f(x,y,state)能推导出哪些集合?
[ x , y ] [x, y] [x,y]有钥匙,可以捡起这些钥匙,假设钥匙的状态为key,那么状态推导就是 f ( x , y , s t a t e ) − > f ( x , y , s t a t e ∣ k e y ) f(x, y, state)->f(x, y, state | key) f(x,y,state)>f(x,y,statekey)
[ x , y ] [x, y] [x,y]无钥匙,那么可以向相邻的位置走, f ( x , y , s t a t e ) − > f ( n x , n y , s t a t e ) f(x, y, state)->f(nx, ny, state) f(x,y,state)>f(nx,ny,state),此时的最短距离要+1
由于这个问题中存在环路,所以无法用dp更新集合,只能用最短路算法更新集合

这题比较麻烦的是:建边,相邻两个位置若没有墙,那么可以建立一条权值为1的边
如何表示两个二维坐标之间有边?这里涉及到二维坐标到一维的转换,然后用邻接表存储图
若两个位置之间存在门,用边权表示门的种类,但是实际的边权为1
若两个位置之间既不存在门,也不存在墙,那么创建一条权值为0的边,但时间的边权为1。所以 w [ i ] w[i] w[i]为非0表示这个边上有道门,为0表示可以直接通过
对于墙的情况,直接忽略,不建立边(表示不连通)即可
用set存储已经建立的边,防止重复建边

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <deque>
#include <set>
using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;
const int N = 11, P = 1 << N;
const int M = 400;
int h[N * N], e[M], ne[M], w[M], idx;
int g[N][N]; // 二维到一维的转换
int key[N * N]; // 每个坐标的钥匙状态
int dis[N * N][P]; bool st[N * N][P];
set<PII> s;

int n, m, p, k;

void add(int x, int y, int d)
{
    e[idx] = y, ne[idx] = h[x], w[idx] = d, h[x] = idx ++ ;
}

void build()
{
    int dx[4] = { 0, 1, 0, -1}, dy[4] = { 1, 0, -1, 0 };
    for (int x = 1; x <= n; ++ x )
        for (int y = 1; y <= m; ++ y )
            for (int i = 0; i < 4; ++ i )
            {
                int nx = x + dx[i], ny = y + dy[i];
                if (nx > 0 && nx <= n && ny > 0 && ny <= m)
                {
                    int a = g[x][y], b = g[nx][ny];
                    if (!s.count({a, b})) add(a, b, 0);
                }
            }
}

int bfs()
{
    memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
    deque<PII> q;
    dis[1][0] = 0;
    q.push_back({1, 0});
    while (q.size())
    {
        auto t = q.front(); q.pop_front();
        int x = t.first, state = t.second;
        if (st[x][state]) continue;
        st[x][state] = true;
        
        if (x == n * m) return dis[n * m][state];
        if (key[x])
        {
            int nstate = state | key[x];
            if (dis[x][nstate] > dis[x][state])
            {
                dis[x][nstate] = dis[x][state];
                q.push_front({x, nstate});
            }
        }
        for (int i = h[x]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int y = e[i];
            if (w[i] && !((state >> w[i]) & 1)) continue;
            if (dis[y][state] > dis[x][state] + 1)
            {
                dis[y][state] = dis[x][state] + 1;
                q.push_back({y, state});
            }
        }
    }   
    return -1;
}

int main()
{
    memset(h, -1, sizeof(h));
    scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &p, &k);
    
    int cnt = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++ i )
        for (int j = 1; j <= m; ++ j ) 
            g[i][j] = cnt ++ ;
    
    int x1, y1, x2, y2, x, y, d;
    while ( k -- )
    {
        scanf("%d%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2, &d);
        x = g[x1][y1], y = g[x2][y2];
        s.insert({x, y}), s.insert({y, x});
        
        if (d) add(x, y, d), add(y, x, d);
    }
    
    build(); // 建立除了门和墙的边
    
    int l;
    scanf("%d", &l);
    while ( l -- )
    {
        scanf("%d%d%d", &x, &y, &d);
        key[g[x][y]] |= 1 << d;
    }
    
    printf("%d\n", bfs());
    
    return 0;
}

debug:int x = t.first, state = t.second写成int x = t.secnd, state = t.first
只能说是dijkstra写多了


1134. 最短路计数

1134. 最短路计数 - AcWing题库
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从集合的角度考虑, f ( i ) f(i) f(i)表示图中第i个点的最短路条数,假设与i相连的点由k个,那么 f ( i ) = f ( s 1 ) + f ( s 2 ) + . . . + f ( s k ) f(i) = f(s_1) + f(s_2) + ... + f(s_k) f(i)=f(s1)+f(s2)+...+f(sk),第i个点的最短路条数由与之直接相连的点的最短路条数累加而成
那么要求解 f ( i ) f(i) f(i),就要先算出它的子集,但是图论问题可能存在环,无法确定 f ( i ) f(i) f(i)是否会影响它的子集。所以只能在拓扑图中才能这样更新集合,考虑最短路算法的更新是否具有拓扑序

三种求最短路的方法:1.BFS 2.Dijkstra 3.Bellman-ford
探讨它们求解最短路时,是否具有拓扑序?
对于BFS,由于每个点只会入队一次且只会出队一次,说明BFS的更新天然地具有拓扑序,因为出队的点不会被后续入队的点影响
对于Dijkstra,由于每个点会入队多次,但只会出队一次,也说明了Dijkstra的更新天然地具有拓扑序
对于spfa,由于它是暴力算法的优化,每个点都会入队与出队多次,所以spfa的更新不具有拓扑序,已经出队(更新完成)的点可能影响被后续入队的点影响
即bfs和dijkstra的更新是一颗最短路树,而spfa的更新不是一颗最短路树
image.png

统计最短路条数时,可以遍历最短路树
若统计i节点的最短路条数,只需要累乘父节点的数量即可
而spfa的更新不具有拓扑序,即不存在最短路树,要是图中存在负权边,无法使用天然具有拓扑序的bfs和dijkstra时,只能先用spfa求出最短路,维护出最短路树,再求最短路条数

一般情况下,图中不能存在权值为0的点,否则无法建立出最短路树,因为达到某一个点的最短路不能确定

这题直接用bfs更新最短路,在更新过程中完成最短路条数的统计:用x更新y时,dis[y] > dis[x] + 1时,y的最短路数量等于x的最短路数量
dis[y] == dix[x] + 1,y的最短路条数等于两者的数量累加

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10, M = 4e5 + 10, mod = 100003;
int h[N], e[M], ne[M], idx;
int dis[N], q[N], hh, tt = -1;
int cnt[N];
int n, m;

void add(int x, int y)
{
    e[idx] = y, ne[idx] = h[x], h[x] = idx ++ ;
}

void bfs()
{
    memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
    q[++ tt ] = 1;
    dis[1] = 0, cnt[1] = 1;
    while (tt >= hh)
    {
        int x = q[hh ++ ];
        for (int i = h[x]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int y = e[i];
            if (dis[y] > dis[x] + 1)
            {
                dis[y] = dis[x] + 1;
                q[++ tt ] = y;
                cnt[y] = cnt[x];
            }
            else if(dis[y] == dis[x] + 1) cnt[y] = (cnt[y] + cnt[x]) % mod;
        }
    }
}

int main()
{
    memset(h, -1, sizeof(h));
    scanf("%d%d", &n, &m);
    int x, y;
    while ( m -- )
    {
        scanf("%d%d", &x, &y);
        add(x, y), add(y, x);
    }
    
    bfs();
    
    for (int i = 1; i <= n; ++ i ) 
    {
        if (cnt[i] == 0x3f3f3f3f) puts("0");
        else printf("%d\n", cnt[i]);
    }
    return 0;
}

383. 观光

383. 观光 - AcWing题库
image.png

由于无负权边,所以用dijkstra更新最短路,同时维护最短路条数
但是题目还要维护最短路条数,所以这里用了个类似拯救大兵瑞恩的思想:状压
dis[i][0]表最短路距离,dis[i][1]表示次短路距离,由于次短路的更新也具有拓扑序,所以我们可以在更新次短路的时候维护次短路条数

d i s [ i ] [ 1 ] dis[i][1] dis[i][1]如何计算?与i相连的所有点的最短路以及次短路中,第二大的数
代码体现在:
dis[y][0] > dis[x][0] + w[i],则更新最短路 d i s [ y ] [ 0 ] dis[y][0] dis[y][0],那么最短路成为次短路 d i s [ y ] [ 1 ] dis[y][1] dis[y][1],更新次短路,同时更新最短路
dis[y][0] == dis[x][0] + w[i],那么最短路条数累加,cnt[y][0] += cnt[x][0]
dis[y][1] > dis[x][0] + w[i],那么更新次短路 d i s [ y ] [ 1 ] dis[y][1] dis[y][1]
dis[y][1] == dis[x][0] + w[i],那么次短路条数累加,cnt[y][1] += cnt[x][1]

#include <iostream>
#include <queue>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 1010, M = 10010;
int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx;
int n, m, s, t;
int dis[N][2], cnt[N][2]; bool st[N][2];

struct Ver
{
    int x, d, type;
    bool operator>(const Ver& v) const // 建小堆重载>
    {
        return d > v.d;
    }
};

void add(int x, int y, int d)
{
    e[idx] = y, ne[idx] = h[x], w[idx] = d, h[x] = idx ++ ;
}

int dijkstra()
{
    memset(dis, 0x3f, sizeof(dis));
    memset(st, 0, sizeof(st));
    memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
    priority_queue<Ver, vector<Ver>, greater<Ver>> q;
    q.push({s, 0, 0});
    dis[s][0] = 0, cnt[s][0] = 1;
    while (q.size())
    {
        auto t = q.top(); q.pop();
        int x = t.x, d = t.d, type = t.type;
        int count = cnt[x][type];
        if (st[x][type]) continue;
        st[x][type] = true;
        for (int i = h[x]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int y = e[i];
            if (dis[y][0] > d + w[i])
            {
                dis[y][1] = dis[y][0], cnt[y][1] = cnt[y][0];
                q.push({y, dis[y][1], 1});
                dis[y][0] = d + w[i], cnt[y][0] = count;
                q.push({y, dis[y][0], 0});
            }
            else if (dis[y][0] == d + w[i]) cnt[y][0] += count;
            else if(dis[y][1] > d + w[i])
            {
                dis[y][1] = d + w[i], cnt[y][1] = count;
                q.push({y, dis[y][1], 1});
            }
            else if (dis[y][1] == d + w[i]) cnt[y][1] += count;
        }
    }
    int res = cnt[t][0];
    if (dis[t][0] + 1== dis[t][1]) res += cnt[t][1];
    return res;
}

int main()
{
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while ( T -- )
    {
        idx = 0;
        memset(h, -1, sizeof(h));
        scanf("%d%d", &n, &m);
        int x, y, d;
        while ( m -- )
        {
            scanf("%d%d%d", &x, &y, &d);
            add(x, y, d);
        }
        scanf("%d%d", &s, &t);
        printf("%d\n", dijkstra());
    }
    return 0;
}

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ARCGIS地理配准出现的问题

第一种。已有省级行政区矢量数据&#xff0c;在网上随便找一个相同省级行政区图片&#xff0c;利用地理配准工具给图片添加坐标信息。 依次添加省级行政区选择矢量数据、浙江省图片。 此时&#xff0c;图层默认的坐标系与第一个加载进来的省级行政区选择矢量数据的坐标系一致…

opencv基础40-礼帽运算(原始图像减去其开运算)cv2.MORPH_TOPHAT

礼帽运算是用原始图像减去其开运算图像的操作。礼帽运算能够获取图像的噪声信息&#xff0c;或者得到比原始图像的边缘更亮的边缘信息。 例如&#xff0c;图 8-22 是一个礼帽运算示例&#xff0c;其中&#xff1a; 左图是原始图像。中间的图是开运算图像。右图是原始图像减开运…

人工智能的最新进展:2024年将会发生什么?

文章目录 2024年AI最新发展2024年AI具体应用2024年AI的具体预测 ✍创作者&#xff1a;全栈弄潮儿 &#x1f3e1; 个人主页&#xff1a; 全栈弄潮儿的个人主页 &#x1f3d9;️ 个人社区&#xff0c;欢迎你的加入&#xff1a;全栈弄潮儿的个人社区 &#x1f4d9; 专栏地址&#…

滥⽤合法商⽤程序⽤以进⾏访问控制

背景 攻击对抗日益激烈的局势下&#xff0c;安全产品的围追堵截使得攻击者将目光逐渐转向合法工具的滥用。通过使用具有合法签名的应用程序进行访问控制可以有效提高攻击隐匿性&#xff0c;也对防守及检测提出新的挑战。本文以Vscode、AnyDesk、GotoAssist为例探索攻击者用于访…

海外热门地区/国家常见主体证件示例

海外热门地区/国家常见主体证件示例&#xff08;本页面内容较多&#xff0c;你可以通过CtrlF搜索&#xff09; Overseas Popular Areas / Countries Examples of Common certificates &#xff08;This page has more content, you can search by CtrlF&#xff09; 中国香港…

C++数据结构之平衡二叉搜索树(一)——AVL的实现(zig-zag/左右双旋/3+4重构)

目录 00.BBST——平衡二叉搜索树01.AVL树02.AVL的插入2.1单旋——zig 与 zag2.2插入节点后的单旋实例2.3手玩小样例2.4双旋实例2.5小结 03.AVL的删除3.1单旋删除3.2双旋删除3.3小结 04.34重构05.综合评价AVL5.1优点5.2缺点 00.BBST——平衡二叉搜索树 本文是介绍众多平衡二叉搜…

Sui的赞助交易(gas代付),打开Web2用户丝滑使用Web3之路

Sui Move包括一个功能&#xff0c;允许开发者为其应用程序的一些或全部交易支付gas费&#xff0c;消除了用户在进入Web3时面临的一个最大障碍。在Web3网络中&#xff0c;通常用户需要支付所谓的 gas费才能使用应用程序。Sui的赞助交易功能为愿意采用的开发者消除了这种阻碍。 …

仓库管理系统有哪些功能,如何对仓库进行有效管理

阅读本文&#xff0c;您可以了解&#xff1a;1、仓库管理系统有哪些功能&#xff1b;2、如何对仓库进行有效管理。 仓库是制造业的开端&#xff0c;原材料的领料开始。企业的仓库管理是涉及企业生产、企业资金流和企业的经营风险的关键环节。在众多的工业企业、制造型企业、贸…

都市信息供求网servlet+jsp新闻广告出售java源代码mysql

本项目为前几天收费帮学妹做的一个项目&#xff0c;Java EE JSP项目&#xff0c;在工作环境中基本使用不到&#xff0c;但是很多学校把这个当作编程入门的项目来做&#xff0c;故分享出本项目供初学者参考。 一、项目描述 都市信息供求网servletjsp 系统1权限&#xff1a;管理…

怎么做自动化测试?8年测试老鸟自动化测试总结,史上最全...

目录&#xff1a;导读 前言一、Python编程入门到精通二、接口自动化项目实战三、Web自动化项目实战四、App自动化项目实战五、一线大厂简历六、测试开发DevOps体系七、常用自动化测试工具八、JMeter性能测试九、总结&#xff08;尾部小惊喜&#xff09; 前言 1、为什么做自动化…

AutoML工具-AutoGluon

1、简介 AutoGluon是AutoML的自动化工具&#xff0c;涉及方面有图像、文本、时间序列和表格式数据。 2、入门 2.1 安装 pip install autogluon 2.2 使用 &#xff08;1&#xff09;Tabular&#xff08;解释是表格式数据&#xff0c;不知道对不对&#xff09; 两个函数Ta…

Vue使用QuillEditor富文本编辑器问题记录

1.内容绑定的问题 绑定内容要使用 v-model:content"xxx" 的形式。 2.设置字体字号 字体以及字号大小的设置需要先注册。 <script> import { QuillEditor,Quill } from vueup/vue-quill import vueup/vue-quill/dist/vue-quill.snow.css; // 设置字体大小 c…

认识聚类算法【机器学习必学】

什么是聚类算法? 聚类算法是一种典型的无监督学习算法&#xff0c;主要用于将相似的样本自动归到一个类别中。 在聚类算法中根据样本之间的相似性&#xff0c;将样本划分到不同的类别中&#xff0c;对于不同的相似度计算方法&#xff0c;会得到不同的聚类结果&#xff0c;常…

为代码生成一个良好可读的API文档-Doxygen简单实战

需求&#xff1f;为什么要有API文档 在代码开发过程中&#xff0c;我们会发现有这样的情况&#xff0c;其他团队的代码和自己团队的代码相异甚大&#xff0c;如果没有一个统一规范的文档来对接&#xff0c;会造成很多交流沟通上的不便&#xff0c;但我们又不想浪费时间去边写说…

探索产品项目管理软件的种类及功能

随着科技的不断发展&#xff0c;越来越多的企业开始重视产品项目管理的重要性。产品项目管理软件作为一种有效的工具&#xff0c;可以帮助企业更好地规划、执行和控制项目&#xff0c;提高项目的成功率。本文将分为两部分&#xff0c;分别介绍产品项目管理软件的功能以及一些知…

微信认证申请流程(其他组织)

第一步&#xff1a;登录微信公众平台->设置->微信认证->开通 第二步&#xff1a;同意协议&#xff1a;签署《微信公众平台认证服务协议》 第三步&#xff1a;验证管理员 第三步&#xff1a;选择认证类型及填写认证资料 选择认证类型及上传申请公函 其他组织资质信息 …

制作分班查询系统必备软件,轻松解决分班查询烦恼

常用的分班查询系统制作工具有以下几种&#xff1a; 1. 编程语言和框架&#xff1a;使用编程语言和相关的框架&#xff0c;如Java、Python、PHP等&#xff0c;可以自行开发分班查询系统。这种方式可以根据学校的具体需求进行定制开发&#xff0c;灵活性较高。 2. 数据库管理系…

管理类联考——逻辑——形式逻辑——汇总篇——专业术语

专业术语 专业术语 日常描述 符号化 符号表达 表达含义 常见标志词充分条件假言判断如果P&#xff0c;那么Q→P→Q如果P为真&#xff0c;则Q一定为真&#xff1b;如果Q为假&#xff0c;那么P一定为假。也就是P→Q和┐Q→┐P一定为真。如果P&#xff0c;那么Q&#xff1b;只要P&…