【2023 华数杯全国大学生数学建模竞赛】 C题母亲身心健康对婴儿成长的影响

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1 题目

母亲是婴儿生命中最重要的人之一，她不仅为婴儿提供营养物质和身体保护，还为婴儿提供情感支持和安全感。母亲心理健康状态的不良状况，如抑郁、焦虑、压力等，可能会对婴儿的认知、情感、社会行为等方面产生负面影响。压力过大的母亲可能会对婴儿的生理和心理发展产生负面影响，例如影响其睡眠等方面。

附件给出了包括 390名 3 至 12 个月婴儿以及其母亲的相关数据。这些数据涵盖各种主题，母亲的身体指标包括年龄、婚姻状况、教育程度、妊娠时间、分娩方式，以及产妇心理指标CBTS（分娩相关创伤后应激障碍问卷）、EPDS（爱丁堡产后抑郁量表）、HADS（医院焦虑抑郁量表）和婴儿睡眠质量指标包括整晚睡眠时间、睡醒次数和入睡方式。

请查阅相关文献，了解专业背景，根据题目数据建立数学模型，回答下列问题。

许多研究表明，母亲的身体指标和心理指标对婴儿的行为特征和睡眠质量有影响，请问是否存在这样的规律，根据附件中的数据对此进行研究。
婴儿行为问卷是一个用于评估婴儿行为特征的量表，其中包含了一些关于婴儿情绪和反应的问题。我们将婴儿的行为特征分为三种类型：安静型、中等型、矛盾型。请你建立婴儿的行为特征与母亲的身体指标与心理指标的关系模型。数据表中最后有20组（编号391-410号）婴儿的行为特征信息被删除，请你判断他们是属于什么类型。
对母亲焦虑的干预有助于提高母亲的心理健康水平，还可以改善母婴交互质量，促进婴儿的认知、情感和社交发展。CBTS、EPDS、HADS的治疗费用相对于患病程度的变化率均与治疗费用呈正比，经调研，给出了两个分数对应的治疗费用，详见表1。现有一个行为特征为矛盾型的婴儿，编号为238。请你建立模型，分析最少需要花费多少治疗费用，能够使婴儿的行为特征从矛盾型变为中等型？

若要使其行为特征变为安静型，治疗方案需要如何调整？

表1. 患病得分与治疗费用

CBTS	EPDS	HADS
得分	治疗费用（元）	得分	治疗费用（元）	得分	治疗费用（元）
0	200	0	500	0	300
3	2812	2	1890	5	12500

婴儿的睡眠质量指标包含整晚睡眠时间、睡醒次数、入睡方式。请你对婴儿的睡眠质量进行优、良、中、差四分类综合评判，并建立婴儿综合睡眠质量与母亲的身体指标、心理指标的关联模型，预测最后20组（编号391-410号）婴儿的综合睡眠质量。
在问题三的基础上，若需要让238号婴儿的睡眠质量评级为优，请问问题三的治疗策略是否需要调整？如何调整？

2 问题分析

2.1 问题一

对于母亲的身体指标和心理指标对婴儿的行为特征和睡眠质量的影响，这是一个回归分析建模问题。将婴儿行为特征和婴儿的整晚睡眠时间作为因变量，而母亲的身体指标和心理指标（母亲年龄、婚姻状况、教育程度、妊娠时间、分娩方式、CBTS、EPDS和HADS）作为自变量进行分析。一般采用多元线性回归模型来建模。多元线性回归模型的目标是找到一组线性关系，将自变量与因变量联系起来。回归模型的形式可以表示为：

$Y = β 0 + β 1 * X 1 + β 2 * X 2 + ... + β n * X n + ε$
其中Y表示因变量（即婴儿行为特征和婴儿睡眠质量），X1到Xn表示自变量（即母亲的身体指标和心理指标），β0到βn表示回归系数，ε表示误差项。

对于回归模型的拟合程序的评估指标有调整的R方、AIC、BIC等。注意在回归分析中，需要提出假设条件，并要分析回归结果，考虑各个指标的系数估计值和其显著性检验结果。如以下三个方面。

系数估计值：表示自变量对因变量的影响强度，例如β1表示自变量x1对因变量y的影响强度，β2表示自变量x2对因变量y的影响强度等等。
t值和p值：用于检验各个系数估计值的显著性程度。t值可以表示变量的标准误和系数之间的比值，而p值可以表示该t值在显著性水平下的置信区间范围。一般来说，p值小于0.05或0.01时，表示该系数估计值在显著性水平下具有统计学意义，即该自变量对因变量的影响显著。
回归方程的拟合程度：可用R方和调整R方来衡量。R方表示模型拟合数据的适配度，可解释为自变量对因变量方差的百分比。调整R方则考虑了自变量数目影响，具有更加稳健的拟合效果。另外，由于数据集中包含相关系数较多，我们还可以考虑使用主成分分析（PCA）来减少自变量的维度，提取主要的特征，并建立主成分回归模型。

此外在多元回归分析中，需要考虑各个特征之间是否存在多重共线性，在回归分析之前可以采用主成分分析（PCA）来减少自变量的维度，提取主要的特征，再建立主成分回归模型。