DP学习第五篇之礼物的最大价值

剑指 Offer 47. 礼物的最大价值 - 力扣（LeetCode）

一.题目解析

二. 算法原理

1. 状态表示

    tips: 经验+题目要求。以[i,j]位置为结尾，。。。

dp[i][j]: 到达[i, j]位置时，此时的最大礼物价值

2. 状态转移方程

    tips: 用之前或之后的状态，推导出dp[i]的值。根据最近的一步，来划分问题

到达[i, j]位置之前：

• 从[i - 1, j]位置向下走一步，到[i, j]

• 从[i, j - 1]位置向右走一步，到[i, j]

  即：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + g[i][j]

3. 初始化

    tips: 保证填表的时候不越界。增加虚拟节点

• 虚拟节点里面的值，要保证后面填表是正确的

以起始位置为结尾，则要保证：第一个位置dp[1][1] = g[1][1]。此时初始化时可以选择将虚拟节点的值都设置为0，保证后续填表的正确性

• 下标的映射关系

dp表映射到原矩阵：横纵坐标-1

4. 填表顺序

从上往下填写每一行，每一行从左往右

5. 返回值

题目要求：到达右下角的礼物价值

即：return dp[m][n]

三. 编写代码

class Solution {
public:
    int maxValue(vector<vector<int>>& g) {
        //1.创建dp表
        //2.初始化
        //3.填表
        //4.返回值
        int m = g.size(), n = g[0].size();
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));

        for(int i = 1; i <= m; ++i)
            for(int j = 1; j <= n; ++j)
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + g[i - 1][j - 1];
        
        return dp[m][n];
    }
};

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