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题目：
背景：
方法一：暴力递归 复杂度O(2^N)
方法二：复杂度O(N)
方法三：O（logN）复杂度
两个矩阵相乘：
求矩阵m的p次方的代码实现：
用矩阵乘法求斐波那契数列第N项代码实现：
题目：
给定整数N，返回斐波那契数列的第N项。
背景：
斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 2，n ∈ N*）。
方法一：暴力递归 复杂度O(2^N)
public static int f1(int n) {
if (n < 1) {
return 0;
}
if (n == 1 || n == 2) {
return 1;
}
return f1(n-1) + f1(n-2);
}方法二：复杂度O(N)
从左到右依次求出每一项的值：
（1）定义三个变量 result，pre，tmp
（2）tmp 保存上次的result值 （用于等会儿赋值给pre），然后计算新的result=result+pre，计算完新的result之后，把tmp中存的上一个result的值赋值给pre。换句话说，就是实现前一个和后一个一直相加。
//从左到右依次求出每一项的值 1 1 2 3 5 8 13 ...
public static int f2(int n) {
if (n < 1) {
return 0;
}
if (n ==1 || n==2) {
return 1;
}
int result = 1;
int pre = 1;
int tmp = 0;
//返回的结果 result 一直是result和pre（上一个result）相加
for (int i = 3; i <=n; i++) {
tmp = result;
result = result + pre; //与前一个结果相加（pre）
pre = tmp; //把上一个result的值赋值给pre
}
return result;
}方法三：O（logN）复杂度
先看如何求整数的N次方，例如求10的75次方：
（1）75的二进制数形式为 1001011
（2）10的75次方 = 10^64 * 10^8 * 10^2 * 10^1
先求10^1，再根据10^1求10^2，再根据10^2求10^4，……，最后根据10^32求10^64，然后最后把10^64 * 10^8 * 10^2 * 10^1 相乘。
两个矩阵相乘：
注意：
初始化一个数组 int[][] arr = new int[2][3] ，那么arr.length就是2（行数），arr[0].length就是3（列数），arr[1].length也是3。
示例：
初始化两个二维数组，m1是int[2][3]，m2是[3][2]，相乘得到的res数组是2*2的
计算过程：
左边矩阵的每一行，分别去乘右边矩阵的每一列，对应位置相乘相加。
代码实现：
//两个矩阵相乘的具体体现
public int[][] muliMatrix(int[][] m1, int[][] m2) {
int [][] res = new int[m1.length][m2[0].length]; //m1 的行数 和m2的行数
//按行遍历 m1
for(int i = 0; i < m1.length; i++) {
//按列遍历 m2
for (int j = 0; j < m2[0].length; j++) {
//遍历对应位置相乘相加
for (int k = 0; k < m2.length; k++) {
res[i][j] += m1[i][k] * m2[k][j];
}
}
}
return res;
}测试代码：
public static void main(String[] args) {
int[][] m1 = {{1,2,3},{4,5,6}};
int[][] m2 = {{7,8},{9,10},{11,12}};
int[][] ints = muliMatrix(m1, m2);
System.out.println(Arrays.deepToString(ints));
}测试结果：
求矩阵m的p次方的代码实现：
只有方阵才能求幂
过程解析：
（1）初始化res大小，和m大小一样。
（2）先将res设置为单位阵，相当于整数中的1。
（3）tmp来保存需要求幂的矩阵
（4）for循环遍历，知道p为0停止
在for循环中：
p >> 1代表p右移一位，就是p除以2
如果p是奇数，p & 1=1，如果p是偶数 p & 1=0
先判断 p 是不是奇数，如果是奇数，就让 res = tmp * res
以p = 11为例，求m矩阵的11次幂：
1）p是奇数11，res = tmp * res（一次幂），tmp = tmp * tmp（相当于先求了一个二次幂）。
2) p右移除以2为5，res = tmp *res(此时相当于3次幂)，tmp=tmp*tmp(现在tmp是4次幂)
3）p右移除以2为2，tmp=tmp*tmp(现在tmp是8次幂)
4）p右移除以2为1，res=res*tmp(此时相当于11次幂，已求够)，tmp=tmp*tmp(16次幂)
5）p为0 循环结束 ，返回res。
总之，每次循环 tmp的次幂都会翻倍，11次幂，翻倍到 2，4，8，还差三次，需要执行三次if语句里面的。
代码实现：
//矩阵m的p次方
public static int[][] matrixPower(int[][] m, int p) {
int[][] res = new int[m.length][m[0].length];
//先把res设为单位矩阵(对角线为1) 相当于整数中的1
for (int i = 0; i < res.length; i++) {
res[i][i] = 1;
}
int[][] tmp = m; //m赋值给tmp
// p >>= 1 代表p右移一位赋值给p 右移一位相当于除以2 左移一位相当于乘以2
for (; p != 0; p >>= 1) {
//判断 p是不是偶数 如果p是奇数 p&1=1，如果p是偶数，p&1=0
if ((p & 1) != 0) {//p是奇数的时候
res = muliMatrix(res, tmp); //调用矩阵相乘的函数
}
tmp = muliMatrix(tmp, tmp);
}
return res;
}用矩阵乘法求斐波那契数列第N项代码实现：
解释最后为什么返回 res[0][0] + res[1][0]：
public static int f3(int n) {
if (n < 1) {
return 0;
}
if (n == 1 || n == 2) {
return 1;
}
int[][] base = {{1,1},{1,0}};
int[][] res = matrixPower(base, n-2);
return res[0][0] + res[1][0];
}
