例题：900. 整数划分

https://www.acwing.com/problem/content/902/

解法1——完全背包

容量是 n，物品的大小和价值是 1 ~ n 中的所有数字。

import java.util.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args){
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        final int MOD = (int)1e9 + 7;
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            for (int j = i; j <= n; ++j) {
                dp[j] = (dp[j] + dp[j - i]) % MOD;
            }
        }
        System.out.println(dp[n]);
    }
}

解法2——分拆数⭐⭐⭐

状态表示：
f[i][j]表示总和为i，总个数为j的方案数

状态转移方程：
f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + f[i - j][j];

从最小值 = 1 的转移过来，就是补上数字1。
从最小值 > 1 的转移过来，就是把每个数字都 + 1。

import java.util.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args){
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        final int MOD = (int)1e9 + 7;
        // `f[i][j]`表示总和为i，总个数为j的方案数
        int[][] dp = new int[n + 1][n + 1];
        dp[1][1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j <= i; ++j) {
                dp[i][j] = (dp[i - 1][j - 1] + dp[i - j][j]) % MOD;
            }
        }
        int ans = 0;
        for (int j = 0; j <= n; ++j) {
            ans = (ans + dp[n][j]) % MOD;
        }
        System.out.println(ans);
    }
}