卷积的意义及其应用

卷积的定义

我们将形如
$\int^\infty_{-\infty} f(τ)g(x-τ)dτ$
的式子称之为f（x）与g（x）的卷积记为
$h (x) = (f * g) (x)$
我们可以将它转化成离散形式的式子，like：
$\sum^\infty_{i=-\infty}x(i)h(n-i)$
这是一个很明显的将一个序列倒置，然后相乘的操作。我们就用如此的思想来引入我们的第一种引用——联合概率分布

卷积的应用——联合概率分布

我们想象两颗骰子，当我们掷出它们的时候对于每个骰子的六个面，有如下概率序列
$[\frac{1}{6}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6}, \frac{1}{6}]$
它们的序号计数从1开始
两个骰子的点数概率序列我们分别命名为
$P (x), Q (x)$
那么之前的离散型卷积我们可以选择一个位置写成如下形式,并且根据实际情况调节上下界,式子如
$\sum^{3}_{i=1}P(i)Q(4-i)$
这个描述的是两颗骰子投出4点的概率。
现在我们假设存在两个概率密度函数，定义域为x∈R，那么
$\int^\infty_{-\infty} f(τ)g(x-τ)dτ$
这个式子就可以很清晰的表示他俩的联合分布的密度函数了。
我么可以用python代码实现它

import numpy as np

def dice_probability(num_dice):
    # 构建骰子的点数概率分布
    dice = np.ones(6) / 6

    # 迭代卷积运算
    result = dice
    for _ in range(num_dice - 1):
        result = np.convolve(result, dice)

    return result

# 输入两个骰子进行卷积计算
num_dice = 2
probabilities = dice_probability(num_dice)

# 打印点数概率分布序列
for i, p in enumerate(probabilities, num_dice):
    print(f"点数 {i}: 概率 {p:.4f}")

卷积的应用——信号处理

卷积还有另一个重要的作用，那就是信号处理。
我们假设存在一个线性信号系统，在其中有冲击函数f（t）和一个响应函数g（t）。
这个时候我们再去观察
$\int^\infty_{-\infty} f(τ)g(x-τ)dτ$
我们不难知道其中的g(x-τ)其实是在x时，τ时接受的冲击的响应余留多少
我们知晓这个观点，那我们就可以写一个简单的python程序来计算这个冲击函数对应的真正的响应函数，(之前的g（t）其实是对于单位冲击而言的)，代码如下

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


def continuous_convolution(signal_1, signal_2, dt):
    conv = np.convolve(signal_1, signal_2) * dt
    t = np.arange(0, (len(signal_1) + len(signal_2) - 1) * dt, dt)
    return t, conv

# 定义输入信号的冲击函数和单位冲击响应函数
t_impulse = np.arange(-5, 5, 0.01)
impulse = np.zeros_like(t_impulse)
impulse[np.abs(t_impulse) < 0.001] = 1

t_response = np.arange(0, 10, 0.01)
response = np.exp(-t_response)

# 进行连续卷积计算
t_total, total_response = continuous_convolution(impulse, response, 0.01)

# 裁剪信号长度以匹配卷积结果
total_response = total_response[:len(t_total)]

# 创建一个包含三个子图的图形窗口
fig, axs = plt.subplots(1, 3, figsize=(12, 4))

# 绘制冲击函数的图像
axs[0].plot(t_impulse, impulse)
axs[0].set_xlabel('Time')
axs[0].set_ylabel('Amplitude')
axs[0].set_title('Impulse Function')

# 绘制单位冲击响应函数的图像
axs[1].plot(t_response, response)
axs[1].set_xlabel('Time')
axs[1].set_ylabel('Amplitude')
axs[1].set_title('Unit Impulse Response')

# 绘制总响应函数的图像
axs[2].plot(t_total[:-1], total_response)
axs[2].set_xlabel('Time')
axs[2].set_ylabel('Amplitude')
axs[2].set_title('Total Response')

# 调整子图之间的间距
plt.tight_layout()

# 展示图像
plt.show()

结果如下
在这里插入图片描述
卷积为我们忠实的展现了其在线性信号系统响应模拟上的能力

卷积的应用——图像处理

我们终于循序渐进的到了这一步，卷积——>卷积核。熟悉CNN网络的同学一定对这个词并不陌生，至于为什么把这个放到信号处理/概率后面来讲，因为卷积核实际上就是一个滤波器！！！！是对图像像素矩阵的滤波器！！！，每一次的更新迭代卷积核里的参数，是为了更方便的提取特征，换句话说，卷积核里的值，其实就是对每个像素点可能对这个问题提供贡献的概率的概率分布，每次迭代是迭代它的权重，我甚至可以将这个分布按我所想进行设计，比如说我要我可以将一个图片迅速的转化成速写
代码如下

import numpy as np
from PIL import Image


# 定义卷积操作函数
def convolve(image, kernel):
    image_height, image_width = image.shape
    kernel_height, kernel_width = kernel.shape

    output = np.zeros((image_height, image_width))

    # 滑动窗口进行卷积操作
    for i in range(image_height - kernel_height + 1):
        for j in range(image_width - kernel_width + 1):
            window = image[i:i + kernel_height, j:j + kernel_width]
            output[i, j] = np.sum(window * kernel)

    return output


# 定义速写风格的卷积核
sketch_kernel = np.array([[0, -1, 0],
                          [-1, 5, -1],
                          [0, -1, 0]])

# 从外部读取图像
image_path = "OIP-C.jpg"  # 替换为你的图像路径
image = Image.open(image_path).convert("L")  # 使用convert("L")将彩色图像转为灰度图像

# 将图像转为numpy数组
image_array = np.array(image)

# 执行卷积操作
sketch_image = convolve(image_array, sketch_kernel)

# 显示结果
image.show()  # 显示原始图像
Image.fromarray(sketch_image).show()  # 显示速写风格图像