2023牛客暑期多校-J-Qu‘est-ce Que C‘est?(DP)

news2024/12/25 0:25:36

题意:

给定长度为n的数列{a}_{i=1}^{n},要求每个数都在[-m,m]的范围,且任意长度大于等于2的区间和都大于等于0,问方案数。1\leq n,m\leq 5\times 10_{}^{3}

思路:

首先要看出是dp题,dp[i][x]用来表示遍历到第i位且后缀和最小为x的可行方案数(此时的后缀可以只有最后一位)。很显然j的值在区间[-m,m]。下面考虑dp如何转换:

        1.对于x\epsilon [0,m]。 先讨论dp[i][0]dp[i][0]可由dp[i-1][j],j< 0加一位值为 -j 转换而来;也可由dp[i-1][j],j>=0加一位值为0 转换而来。就有dp[i][0]=\sum_{j=-m}^{m} dp[i-1][j]。再讨论dp[i][1],可由dp[i-1][j],j<0,1-j\leq m,加一位值为 1-j 转换而来;也可由 dp[i-1][j],j>=0加一位值为1转换而来。就有dp[i][1]=\sum_{j=1-m}^{m} dp[i-1][j]。依次讨论可以得出dp[i][x]可以由dp[i-1][j],j< 0,x-j<=m,末位加值为x-j转换而来;也可由dp[i-1][j],j>=0,末位加x转换而来。综上所诉:dp[i][x]=\sum_{j=x-m}^{m} dp[i-1][j]

        2.对于x\epsilon [-m,0)。可以去验证,只有dp[i-1][j],j>=-x,末位加值为x才能转换成dp[i][x]。所以dp[i][x]=\sum_{j=-x}^{m}dp[i-1][j]

为了方便计算我们把[-m,m]这个区间平移映射到[0,2m]区间上。按照上述思想去找新的dp转换式就有:

dp[i][x]=\sum_{j=x-m}^{2m}dp[i-1][j],x\varepsilon [m,2m]

dp[i][x]=\sum_{j=2m-x}^{2m}dp[i-1][j],x\epsilon [0,m)

由于都是求和到2m,所以可以考虑后缀和优化。

代码:

//#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 
//#include<iostream>
//#include<algorithm>
//#include<cstdio>
//#include<map>
//#include<string.h>
//#include<string>
//#include<vector>
//#include<__msvc_all_public_headers.hpp>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const ll mod = 998244353;
const int N = 5005;
ll dp[N][N*2];//dp[i][j]表示遍历到i位,后缀和最小为j且合法的数量。(这里后缀和包含了只含有最后一位的情况)
ll sum[N * 2];//后缀数组
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	int n, m;
	cin >> n >> m;
	ll ans = 0;
	//初始化
	for (int i = 0; i <= m*2; i++)
	{
		dp[1][i] = 1;
	}
	for (int i = 2; i <= n; i++)
	{
		//处理后缀和
		for (int j = m * 2; j >= 0; j--)sum[j] = (sum[j + 1] + dp[i - 1][j]) % mod;
		//[0,m)的情况
		for (int j = 0; j < m; j++)
		{
			dp[i][j] = sum[2 * m - j];
		}
		//[m,2m]的情况
		for (int j = m; j <= 2 * m; j++)
		{
			dp[i][j] = sum[j - m];
		}
	}
	//统计
	for (int i = 0; i <= m * 2; i++)
	{
		ans = (ans + dp[n][i]) % mod;
	}
	cout << ans << endl;
	return 0;
}

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