0 回溯和动态规划（dp）的区别

动态规划的核心是穷举，那么回溯算法和dp有什么区别？

• 动态规划是一个求最值的问题，其会符合最优子结构，可以通过子问题的最优解，推导出原问题的最优解，而且他一定会存在重叠子问题，可以通过备忘录的方式，消除重叠子问题，从而大幅提升算法的效率，降低时间复杂度。

• 回溯算法一般不会让求最值，可能一般会让我们求所有的可行解，比如全排列/N皇后问题，这就是回溯算法，不会让你求最值，而且没有重叠子问题，其实回溯算法就是DFS算法，都是暴力穷举，核心思想都一致，回溯算法是一个很好的算法，没想到比较好的方法，就直接回溯套吧！

0.1 框架

list<value> result;
void backtrack(Path, ChoiceList)
{
	if (满足的条件)
	{
		result.add(Path);
		return;
	}
	for (Choice : ChoiceList)
	{
		Do Choice;//做选择
		backtrack(Path, ChoiceList);//回溯
		Delete Choice;//撤销选择
		//以上三步是为了回溯算法的逻辑
		//前序位置做选择，后序位置撤销选择
	}
}

//多叉树遍历
void traverse(TreeNode *root)
{
	if (!root) return;
	for (TreeNode child : root->children)
	{
		traverse(child);
	}
}

1 刷题

1.1 全排列

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1.1.1 题解

全排列，就是从根节点开始，一直到叶子节点，这一段就是全排列，所以对全排列这个算法问题，我们逻辑上，也是构造一个多叉树，之后，通过回溯算法，遍历多叉树，每当遍历到叶子节点的时候，就把这个路径记录下来。每当遍历到叶子节点，我们需要知道叶子节点到根节点的路径，上面有哪些数字，这些数字就是我们一个答案，要存起来。

1.1.2 Code

class Solution {
private:
    int numsSize;
    vector<int> nums;
    vector<vector<int>> res;//结果
    vector<int> path;//用来记录一下路径

public:
    void dfs(const int deepth, vector<bool> used)
    {
        if (numsSize == deepth)
        {
            res.emplace_back(path);
            return;
        }

        for (int i = 0; i < numsSize; ++i)
        {
            if (used[i])
            {
                continue;
            }

            path.emplace_back(nums[i]);
            used[i] = true;
            dfs(deepth + 1, used);
            used[i] = false;//回溯撤销
            path.pop_back();
        }
        return;
    }


    vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) {
        numsSize = nums.size();
        this->nums = nums;//指向private当中的nums
        vector<bool> used(numsSize, false);//初始化

        dfs(0, used);//开始回溯

        return res;
    }
};

1.1.3 结果

1.2 N皇后

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1.2.1 题解

先不管皇后之间怎么互相攻击，规定每行只能放一个皇后，就能不能穷举出来所有皇后放置的方法？所以可以先进行穷举，穷举完所有可能的位置之后，之后再来考虑可行性约束（也就是攻击问题的约束）。

1.2.2 Code

class Solution {
    public:
    vector<vector<string>> res;

    /* 输入棋盘边长 n，返回所有合法的放置 */
    vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
        // '.' 表示空，'Q' 表示皇后，初始化空棋盘。
        vector<string> board(n, string(n, '.'));
        backtrack(board, 0);
        return res;
    }

    // 路径：board 中小于 row 的那些行都已经成功放置了皇后
    // 选择列表：第 row 行的所有列都是放置皇后的选择
    // 结束条件：row 超过 board 的最后一行
    void backtrack(vector<string>& board, int row) {
        // 触发结束条件
        if (row == board.size()) {
            res.push_back(board);
            return;
        }

        int n = board[row].size();
        for (int col = 0; col < n; col++) {
            // 排除不合法选择
            if (!isValid(board, row, col)) {
                continue;
            }
            // 做选择
            board[row][col] = 'Q';
            // 进入下一行决策
            backtrack(board, row + 1);
            // 撤销选择
            board[row][col] = '.';
        }
    }

    /* 是否可以在 board[row][col] 放置皇后？*/
    bool isValid(vector<string>& board, int row, int col) {
        int n = board.size();
        // 检查列是否有皇后互相冲突
        for (int i = 0; i <= row; i++) {
            if (board[i][col] == 'Q')
                return false;
        }
        // 检查右上方是否有皇后互相冲突
        for (int i = row - 1, j = col + 1;
             i >= 0 && j < n; i--, j++) {
            if (board[i][j] == 'Q')
                return false;
        }
        // 检查左上方是否有皇后互相冲突
        for (int i = row - 1, j = col - 1;
             i >= 0 && j >= 0; i--, j--) {
            if (board[i][j] == 'Q')
                return false;
        }
        return true;
    }
};

1.2.3 结果