你有一个背包，地上一堆物品，挑选一些物品放入背包中，最大能够挑选出来的价值是多少

背包可以装满，背包也是可以不必都装满

 一)01背包问题

【模板】01背包_牛客题霸_牛客网 (nowcoder.com)

1)求这个背包最多可以装多大价值的物品？

那么这意味着这个背包可以不用完全装满，那么所能够装的最大价值就是10+4=14，此时装的容量是3，剩余背包容量体积是2

2)若背包恰好装满，求至多可以装多大价值的物品？

如果这个背包恰好装满，那么只能选择2物品和3号物品进行装上，此时装的物品的价值是9，背包剩余容量是0，如果无法将背包装满，就比如说在示例2中，那么返回0

第一问:

一)确定一个状态表示:经验+题目要求

1)背包问题本质上是一个线性的dp问题，当我们在挑选物品的时候，可以从左向右顺序进行挑选，考虑每一个物品是否挑选，从而放到背包里面

dp[i]表示从第一个物品开始进行挑选，挑选到第i个物品的时候所有的选择方法中最大的价值

2)在进行挑选dp[i]的时候是很有可能会使用到之前的状态的，我在进行填写dp[i]的时候，会进行考虑这个i号物品是否进行选择，必须得知道背包容量，不知道背包容量，所以不知道是否可以把物品放进背包；

3)dp[i][j]表示从前i个物品进行挑选，此时体积不超过j的(可以等于j也可以小于j)，在这些选法中，所能进行挑选的最大价值，可以等于j也可以小于j

二)根据状态表示推导状态转移方程:根据最后一个位置的状况来进行划分问题:

1)要么我选择第i号位置的物品，要么我不进行选择第i号位置的物品

不选择i物品:dp[i][j]=dp[i-1][j]，我们直接在1-i-1物品中找到最大价值，并且体积不超过j

选择i物品:dp[i][j]=w[i]+dp[i-1][j-v[i]] 

2)在两种情况中选择一个一个最大值即可，但是此时还需要考虑一个特殊情况，那么有可能是j-v[i]不存在，如果说背包的体积就是10，但是当前物品的体积是11，整个背包都装不下，所以一定要满足j-v[i]是大于等于0的；

3)假设j==v[i]那么dp[i][j]=w[i]

三:初始化+填表顺序+返回值:

1)下标从1开始进行计数，那么原始的dp表就多了一行和多了一列，第一行是0表示没有商品(有包没有能力装任何商品)，第一列表示背包的容量是0(商品都装不进去)，所以第一行和第一列都是0

2)从上向下填写，每一行从左向右进行填写

3)返回值:返回的是从N个物品中选择，总体积不超过V的商品所有选法中的最大价值

第二问:

一)定义一个状态标识:必须要装满

dp[i][j]表示从前i个物品中进行挑选，总体积此时正好等于j，所有选法中，所能进行挑选物品的最大价值

二)根据状态标识推导状态转移方程:

1)如果选择i位置的商品，那么就去1-i-1中去选择商品组合，选择商品总容量的总体积要等于j-v[i]，如果当前礼物的价值已经超过了j(v[i]>j]那么一定不能选择当前商品，如果j==v[i]，那么礼物的最大价值就是dp[i][j]=dp[i-1][j-v[i](j-v[i]>=0)

2)如果不选择i位置的商品，那么就去1-i-1中去寻找商品组合，dp[i][j]=dp[i-1][j]，但是这个只是不一定存在的，我们可能永远也无法选取到总体积等于j的商品组合，如果dp[i][j]=-1的时候无法选择，总体积是无法凑到j的，但是这个dp[i-1][j]一定存在吗，我的意思是从前i-1个位置的物品进行挑选，选择体积恰好等于j的商品的最大价值，但是有可能选择不到，如果选择不到，那么就让dp[i-1][j]==-1

3)那么为什么不选择dp[i][j]=0来表示从前i个物品中进行挑选，总体积凑不到j的这种情况呢

dp[0][j]表示没有物品进行选择总体积等于j，此时能够选择到的商品的最大价值，其实是可以选到的，不过里面的价值是等于0；

4)对于第一种情况来说，我不进行选择i位置的元素，dp[i-1][j]如果等于-1，那么dp[i][j]=dp[i-1][j]也是可以的

5)对于第二种情况来说，如果选择i位置的商品，必须要进行判断dp[i-1][j-v[i]]不等于-1，如果在i-1区间内找不到礼物价值是j-v[i]的礼物组合，那么dp[i][j]也是-1

 三)初始化:

dp[0][0]=0，dp[0][i]=-1，dp[j][0]=0(啥都不选就可以了)

import java.util.Scanner;
import java.util.Arrays;
// 注意类名必须为 Main, 不要有任何 package xxx 信息
public class Main {
    public static void main(String[] args) {
      Scanner scanner=new Scanner(System.in);
      int n=scanner.nextInt();//物品的个数
      int V=scanner.nextInt();//背包的体积
      int[] v=new int[n+1];//存放物品的体积
      int[] w=new int[n+1];//存放物品的价值
      //让数组从第一个位置开始进行输入,到时候下标就不用-1了
      for(int i=1;i<=n;i++){
        v[i]=scanner.nextInt();
        w[i]=scanner.nextInt();
      }
    int[][] dp1=new int[n+1][V+1];
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=V;j++){
           if(j-v[i]>=0) 
           dp1[i][j]=dp1[i-1][j-v[i]]+w[i];
            //如果不进行选择当前i位置的物品放入到背包里面
           dp1[i][j]=Math.max(dp1[i][j],dp1[i-1][j]);
           //如果选择当前i位置的物品放入到背包里面
        }
     }
    int[][] dp2=new int[n+1][V+1];
    dp2[0][0]=0;
    for(int i=1;i<=V;i++) dp2[0][i]=-1;
    //此时一件商品都没有,是无法找到一个商品使背包的体积变成j的
    //for(int i=1;i<=V;i++) dp2[i][0]=0;//此时啥也不选,就能使背包的体积变成0
 for(int i=1;i<=n;i++){
 for(int j=1;j<=V;j++){
   if(j-v[i]>=0&&(dp2[i-1][j-v[i]]!=-1))
           dp2[i][j]=dp2[i-1][j-v[i]]+w[i];
    else  dp2[i][j]=-1;
            //如果不进行选择当前i位置的物品放入到背包里面
           dp2[i][j]=Math.max(dp2[i][j],dp2[i-1][j]);
           //如果选择当前i位置的物品放入到背包里面
        }
 }
System.out.println(dp1[n][V]); 
System.out.println(dp2[n][V]==-1?0:dp2[n][V]); 
//如果最后无法凑出体积是V的情况,那么dp[n][V]是等于-1,那么dp[n][V]=0
    }   
}

四)利用滚动数组做空间上面的优化+直接在原始的代码上稍加修改即可

我们的dp[i][j]所依赖的是两部分的值dp[i][j]所进行依赖的是dp[i-1][j]和dp[i][j-v[i]]，当我们在进行填写dp[i][j]的时候，只是需要dp[i-1]和dp[i][j-v[i]]的值即可，至于其他的值我是不会关心的