DP学习第三篇之不同路径

62. 不同路径 - 力扣（LeetCode）

一.题目解析

二. 算法原理

1. 状态表示

    tips: 经验+题目要求。以[i,j]位置为结尾，。。。

dp[i][j]: 走到[i, j]位置时，一共多少种路径

2. 状态转移方程

    tips: 用之前或之后的状态，推导出dp的值。根据最近的一步，来划分问题

到达[i, j]位置之前：

• 从[i - 1, j]位置向下走一步，到[i, j]
• 从[i, j - 1]位置向右走一步，到[i, j]

即：dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]

3. 初始化

    tips: 保证填表的时候不越界。增加虚拟节点

• 虚拟节点里面的值，要保证后面填表是正确的

如果以起始位置为结尾，则要保证：第一个位置dp[1][1] = 1 （1条路径）。此时初始化时可以选择将虚拟节点中dp[0][1] = 1，其他为0即可（或者dp[1][0] = 0，其他为0），保证后续填表的正确性

• 下标的映射关系

4. 填表顺序

从上往下填写每一行，每一行从左往右

5. 返回值

题目要求：到达右下角的路径数

即：return dp[m][n]

三. 编写代码

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        //1.创建dp表
        //2.初始化
        //3.填表
        //4.返回值
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1));

        dp[0][1] = 1;

        for(int i = 1; i <= m; ++i)		// 从上往下
            for(int j = 1; j <= n; ++j)	// 从左往右
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            

        return dp[m][n];
    }
};

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