3.栈和队列
3.1栈和队列的定义和特点
- 栈和队列是两种常用的、重要的数据结构
- 栈和队列是限定插入和删除只能在表的 “ 端点 ”进行的线性表
- 栈和队列是线性表的子集（是插入和删除位置受限的线性表）
栈的应用：
由于栈的操作具有后进先出的固有特性，使得栈成为程序设计中的有用工具。另外，如果问题求解的过程具有“后进先出”的天然特性的话，则求解的算法中也必然需要使用“栈”。如（数制转换、表达式求值、括号匹配的检验、八皇后问题、行编辑程序、函数调用、迷宫求解、递归调用的实现）
队列的应用：
由于队列的操作具有先进先出的特性，使得队列成为程序设计中解决类似排队问题的有用工具。
3.1.1栈的定义和特点
- 栈是一个特殊的线性表，是限定仅在一端（通常是表尾）进行插入和删除操作的线性表。
- 又称为后进先出的线性表，简称LIFO结构
- 存储结构，用顺序栈或链栈存储均可，但以顺序栈更常见。
栈的相关概念
栈是仅在表尾进行插入、删除操作的线性表。
表尾（即an端）称为栈顶Top；表头（即a1端）称为栈底Base
插入元素到栈顶（即表尾）的操作，称为入栈（压栈 PUSH）。
从栈顶（即表尾）删除最后一个元素的操作，称为出栈（POP）。
3.1.2队列的定义和特点
- 队列是一种先进先出（FIFO）的线性表。在表一端插入（表尾），在另一端（表头）删除。（头删尾插）
- 存储结构：顺序对或链队，以循环顺序队列更常见。
3.2案例引入
1、进制转换
十进制整数N向其他进制数d（二、八、十六）的转换是计算机实现计算的基本问题。
转换法则：除以d倒取余 n=(n div d)*d + n mod d 其中div为整除运算，mod为求余运算。
例 把十进制数159转换为八进制数
（159）10=（237）8
2、括号匹配的检验
假设表达式中允许包含两种括号：圆括号和方括号
其嵌套的顺序随意，即
- （[ ] （））或[（[ ] [ ]）]为正确格式
- [（ ] ）] 为错误格式
- （[ （））或（（）] ）为错误格式
3.3栈的表示和操作的实现
3.3.1顺序栈的表示和实现
存储方式：同一般线性表的顺序存储结构完全相同，利用一组地址连续的存储单元依次存放自栈底到栈顶的数据元素。栈底一般在低地址端。
- 附设top指针，指示栈顶元素在顺序栈中的位置。
- 另设base指针，指示栈底元素在顺序栈中的位置。
但是，为了方便操作，通常top指示真正的栈顶元素之上的下标地址。
- 另外，用stacksize表示栈可使用的最大容量。
空栈：base == top 是栈空标志
栈满：top - base == stacksize
栈满时的处理方法：
- 报错，返回操作系统。
- 分配更大的空间，作为栈的存储空间，将原栈的内容移入新栈。
使用数组作为顺序栈存储方式的特点：简单、方便、但易产生溢出（数组大小固定）
- 上溢（overflow）：栈已经满，又要压入元素。
- 下溢（underflow）：栈已经空，还要弹出元素。
顺序栈的表示
#define MAXSIZE 100
typedef struct {
int* base; //栈底指针
int* top; //栈顶指针
int stacksize; //栈可用最大容量
}SqStack;
1、顺序栈的初始化
//顺序栈的初始化
bool InitStack(SqStack& s) {//构造一个空栈
s.base = new int[MAXSIZE];//或s.base=(int *)malloc(MAXSIZE*sizeof(int))
if (!s.base) return false;//存储分配失败
s.top = s.base;//栈顶指针等于栈底指针
s.stacksize = MAXSIZE;
return true;
}
2、顺序栈判断栈是否为空
//判断栈是否为空
bool StackEmpty(SqStack s) {
if (s.top == s.base)return true;
else return false;
}
3、求顺序栈长度
//求顺序栈长度
int StackLength(SqStack s) {
return s.top - s.base;
}
4、清空顺序栈
//清空顺序栈
bool ClearStack(SqStack s) {
if (s.base) s.top = s.base;
return true;
}
5、销毁顺序栈
bool DestroyStack(SqStack& s) {
if (s.base) {
delete s.base;
s.stacksize = 0;
s.base = s.top = 0;
}
return true;
}
5、顺序栈的入栈
【算法步骤】
- 判断是否栈满，若满则出错（上溢）
- 元素e压入栈顶
- 栈顶指针加1
bool Push(SqStack& s, int e) {
if (s.top - s.base == s.stacksize) return false;//栈满
*s.top++ = e;//*s.top=e; s.top++;
return true;
}
6、顺序栈的出栈
【算法步骤】
- 判断是否栈空，若空则出错（下溢）
- 栈顶指针减1
- 获取栈顶元素e
bool Pop(SqStack& s, int& e) {
if (s.top == s.base)//等价以if(StackEmpty(s))
return false;
e = *--s.top;// --s.top; e=*s.top
return true;
}
3.3.2链栈的表示和实现
链栈的表示：
- 链栈是运算受限的单链表，只能在链表头部进行操作
typedef struct StackNode {
int data;
struct StackNode* next;
}StackNode,*LinkStack;
LinkStack s;
- 链表的头指针就是栈顶
- 不需要头结点
- 基本不存在栈满的情况
- 空栈相当于头结点指向空
- 插入和删除仅在栈顶处执行
1、链栈的初始化
int InitStack(LinkStack& s) {
LinkStack S;
S = NULL;
return true;
}
2、判断链栈是否为空
bool StackEmpty(LinkStack s) {
if (s == NULL) return true;
else return false;
}
3、链栈的入栈
bool Push_L(LinkStack& s, int e) {
LinkStack p = new StackNode;//生成新结点p
p->data = e;//将新结点数据域置为e
p->next = s;//进新结点插入栈顶
s = p;//修改栈顶指针
return true;
}
4、链栈的出栈
bool Pop_L(LinkStack& s, int& e) {
if (s == NULL) return false;
e = s->data;
LinkStack p;
p = s;
s = s->next;
delete p;
return true;
}
5、取栈顶元素
int GetTop(LinkStack s) {
if (s != NULL) return s->data;
}
3.4栈与递归
递归的定义：
-
若一个对象部分地包含它自己，或用它自己给自己定义，则称这个对象是递归的；
-
若一个过程直接地或间接地调用自己，则称这个过程是递归的过程。
-
如：递归求n的阶乘
long Fact(long n){ if(n==0) return 1; else return n*Fact(n-1); } -
以下三种情况常常用到递归方法
- 递归定义的数学函数
- 阶乘函数
- 2阶Fibonaci数列
- 具有递归特性的数据结构
- 二叉树
- 广义表
- 可递归求解的问题
- 迷宫问题
- Hanoi塔问题
- 递归定义的数学函数
-
-
递归问题——用分治法求解
分治法：对于一个较为复杂的问题，能够分解成几个相对简单的且解法相同或类似的子问题来求解。
必备的三个条件：
- 能将一个问题转变成一个新问题，而新问题与原问题的解法相同或类同，不同的仅是处理的对象，且这些处理对象是变化有规律的。
- 可以通过上述转化而使问题简化。
- 必须有一个明确的递归出口，或称递归的边界。
分治法求解递归问题算法的一般形式：
void p(参数表){ if(递归结束条件) 可直接求解步骤; -------基本项 else p(较小的参数); --------归纳项 }long Fact(long n){ if(n==0) return 1; //基本项 else return n*Fact(n-1); //归纳项 } -
函数调用过程
调用前，系统完成：
- 将实参，返回地址等传递给被调用函数
- 为被调用函数的局部变量分配存储区
- 将控制转移到被调用函数的入口
调用后，系统完成：
- 保存被调用函数的计算结果
- 释放被调用函数的数据区
- 依照被调用函数保存的返回地址将控制转移到调用函数
当多个函数构成嵌套调用时：遵循后调用的先返回 栈
-
递归的优缺点
优点：结构清晰，程序易读。
缺点：每次调用要生成工作记录，保存状态信息，入栈；返回时要出栈，恢复状态信息。时间开销大。
-
递归—>非递归
方法1：尾递归、单向递归 -->循环结构
方法2：自用栈模拟系统的运行时栈
3.5队列的表示和操作的实现
- 相关术语（头删尾插）
- 队列（Queue）是仅在表尾进行插入操作，在表头进行删除操作的线性表。
- 表尾即an端,称为队尾；表头即a1端，称为队头。
- 它是一种**先进先出（FIFO）**的线性表。
- 插入元素称为入队，删除元素称为出队。
- 队列的存储结构为链队或顺序队（常用循环顺序队）。
3.5.1队列的顺序表示和实现
队列的顺序表示——用一维数组base[MAXQSIZE]
#define MAXSIZE 100
typedef struct {
int* base;//初始化的动态分配存储空间
int front;//头指针，若队列不空。指向队列头元素
int rear;//尾指针，若队列不空，指向队列尾元素的下一个位置。
}SqQueue;
初始：front = rear = 0
入队：base [rear] = x ; rear++;
出队：x = base [ front] ; front++;
空队标志：front == rear
设数组大小为MAXSIZE，rear = MAXSIZE时，发出溢出
- 若front = 0 ，rear=MAXSIZE时，再入队——真溢出
- 若front ≠ 0 ，rear=MAXSIZE时，再入队——假溢出
解决假上溢的方法
-
将队中元素依次向队头方向移动。
缺点：浪费时间。每移动一次，队中元素都要移动。
-
将队空间设想成一个循环的表，即分配给队列的m个存储单元可以循环使用，当rear为MAXSIZE时，若向量的开始端空着，又可从头使用空着的空间。当front为MAXSIZE时，也是一样。
解决假上溢的方法——引入循环队列
base[0]接在base[MAXSIZE-1]之后，若rear+1==M，则令rear=0；
实现方法：利用模（mod，C语言中：%）运算。
插入元素：Q.base[Q.rear] = x;
Q.rear = (Q.rear + 1) % MAXSIZE;
删除元素：x = Q.base[s.front]
Q.front = (Q.front + 1) % MAXSIZE;
如何判断队空和队满？
解决方案：
- 另外设一个标志以区别队空、队满。
- 另设一个变量，记录元素个数。
- 少用一个元素空间
循环队列解决队满时判断方法——少用一个元素空间：
队空：front == rear
队满：（rear + 1）% MAXSIZE == front
1、队列的初始化
bool InitQueue(SqQueue& Q) {
Q.base = new int[MAXSIZE];//分配数组空间
//或Q.base=(int*)malloc(MAXSIZE*sizeof(int));
if (!Q.base) return false;//存储分配失败
Q.front = Q.rear = 0;//头指针尾指针置为0，队列为空
return true;
}
2、求队列的长度
int QueueLength(SqQueue Q) {
return ((Q.rear - Q.front+MAXSIZE)%MAXSIZE);
}
3、循环队列入队
bool EeQueue(SqQueue& Q, int e) {
if ((Q.rear + 1) % MAXSIZE == Q.front) return false;//队满
Q.base[Q.rear] = e;//新元素加入队尾
Q.rear = (Q.rear + 1) % MAXSIZE;//队尾指针+1
return true;
}
4、循环队列出队
bool DeQueue(SqQueue& Q, int& e) {
if (Q.front == Q.rear) return false;//队空
e = Q.base[Q.front];//保存队头元素
Q.front = (Q.front + 1) % MAXSIZE;//队头指针+1
return true;
}
5、取队头元素
int GetHead(SqQueue Q) {
if (Q.front != Q.rear)//队列不为空
return Q.base[Q.front];//返回队头指针元素的值，队头指针不变
}
3.5.2队列的链式表示和实现
若用户无法估计所用队列的长度，则宜采用链队列
链队列的类型定义：
typedef struct Qnode {
int data;
struct Qnode* next;
}QNode,*QuenePtr;
typedef struct {
QuenePtr front;//队头指针
QuenePtr rear;//队尾指针
}LinkQueue;
链队列运算指针变化状况：
1、链队列初始化
bool InitQueue_L(LinkQueue& Q) {
Q.front = Q.rear = (QuenePtr)malloc(sizeof(QNode));
if (!Q.front) return false;
Q.front->next = NULL;
return true;
}
2、销毁链队列（补充）
算法思想：从队头结点开始，依次释放所有结点。
bool DestroyQueue(LinkQueue& Q) {
QNode* p;
while (Q.front) {
p = Q.front->next;
free(Q.front);
Q.front = p;
//或者Q.rear=Q.front->next; free(Q.front); Q.front=Q.rear;
}
return true;
}
3、将元素e入队
bool EnQueue_L(LinkQueue& Q, int e) {
QNode* p;
p = (QuenePtr)malloc(sizeof(QNode));
if (!p) return false;
p->data = e;
p->next = NULL;
Q.rear->next = p;
Q.rear = p;
return true;
}
4、链队列出队
bool DeQueue_L(LinkQueue& Q, int& e) {
if (Q.front == Q.rear) return false;
QNode* p;
p = Q.front->next;
e = p->data;
Q.front->next = p->next;
if (Q.rear == p)Q.rear = Q.front;
delete p;
return true;
}
5、求链队列的队头元素
bool GetHead(LinkQueue Q, int& e) {
if (Q.front == Q.rear) return false;
e = Q.front->next->data;
return true;
}
