C++平衡搜索二叉树（AVL）

news2024/11/23 11:58:15

一、定义

AVL树本质上还是一棵二叉搜索树，它的特点是： 

1.本身首先是一棵二叉搜索树。

2.带有平衡条件：每个结点的左右子树的高度之差的绝对值（平衡因子）最多为1。

搜索二叉树可能出现单边树的情况，导致搜索效率低下。AVL树的作用就是调整搜索二叉树使其最接近完全二叉树的形状，使得效率最高

二、AVL树的结构

采用<K,V>模型，每个节点都同时保存关键字和关键字值。这里采用三叉链的结构，对于除根节点外的每一个节点都链接一个父节点和左右子节点

template<class K,class V>
class AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	pair<K, V> _kv;
	int _bf;//平衡因子 右子树高度-左子树高度

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr),_right(nullptr)
		,_parent(nullptr),_kv(kv),_bf(0)
	{}
};

也可以不采用三叉链的结构。如果使用二叉链，也就是只链接左右子节点，不包含父节点。在后续的插入删除以及平衡因子的调节中会更加繁琐

三、平衡因子的调节

平衡因子是每个节点右子树与左子树的高度差，即平衡因子bf=右树高度-左树高度

为了方便对每个节点平衡因子的记录，如果再右子树上插入节点，则将平衡因子bf++；如果在左子树上插入节点，则将平衡因子bf--

由于当前节点的平衡因子在操作后进行了改变，其祖宗节点的平衡因子也都需要进行改变

节点的平衡因子总共有三种可能：

①插入后父节点平衡因子为0

说明插入前父节点平衡因子为1或-1，插入后该子树平衡。满足AVL树要求，平衡因子调整结束

②插入后父节点平衡因子为1或-1

说明插入前父节点平衡因子为0，插入后该子树高度改变。父节点的祖宗节点平衡因子也需要改变，所以更新父节点位置，向上调整平衡因子

③插入后父节点平衡因子为2或-2

 说明插入前父节点平衡因子为1或-1，插入节点后，父节点平衡因子不满足AVL树要求，因此需要旋转调整节点位置（调整树形）使得该树满足AVL树的要求

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}

		//找位置
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		//链接
		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first > kv.first)
		{
			parent->_left = cur;
		}
		else
		{
			parent->_right = cur;
		}
		cur-> _parent = parent;

		//更新平衡因子
		while (parent)
		{
			if (cur == parent->_right)
			{
				parent->_bf++;
			}
			else
			{
				parent->_bf--;
			}

			//更新祖宗节点
			if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)//子树高度改变，向上调节
			//如果当前父节点平衡因子为1或-1，则调节前平衡因子一定为0
			{
				parent = parent->_parent;
				cur = cur-> _parent;
			}
			else if (parent->_bf == 0)//子树平衡，更新结束
			//如果当前父节点平衡因子为0，则调节前平衡因子一定为1或-1
			{
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2 )
			{
				//旋转平衡处理
				if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)//新节点插入较高右子树的右侧
				{
					RotateL(parent);//左单旋 右右插入
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)//新节点插入较高左子树的左侧
				{
					RotateR(parent);//右单旋 左左插入
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateLR(parent);//先左后右双旋 左右插入
				}
				else if (parent->_bf== 2 && cur->_bf == -1 )
				{
					RotateRL(parent);//先右后左双旋 右左插入
				}
				else
				{
					assert(false);
				}
				break;
			}

			else
			{
				assert(false);//处理解决插入之前就出现问题的情况
			}
		}
		return true;
	}

四、旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构， 使之平衡化

树的结构大致有以下四种，其中C节点为插入节点

1.右单旋

左左插入为右单旋

右单旋的目的是为了是不平衡的左分支向右调整，使得二叉树整体符合AVL树特征

如图，在根节点左孩子的左子树上插入新节点，左子树的高度变为h+1，其父节点30的平衡因子变为-1，右子树高度不变，根节点平衡因子变为-2。因此需要旋转调整，采用右单旋

将中间节点30上提，使得a与60分别为其左右子树。由于二叉树的性质，可知b子树中左右的关键字值一定小于60，因此将其调整至60节点的左子树处。旋转完成后需要调整各个节点的平衡因子值

注意：①需要考虑右子树b是否存在②需要考虑60是否是根节点。如果是根节点，则需要更新根节点；如果是子树，则需要考虑是左子树还是右子树，并与60的父节点链接

void RotateR(Node* parent)//右单转
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		parent->_left = subLR;
		if (subLR)//如果有右子树则调整位置
		{
			subLR->_parent = parent;
		}
		Node* ppnode = parent->_parent;

		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;
		
		if (parent == _root)
		{
			_root = subL;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppnode->_left == parent)
			{
				ppnode->_left = subL;
			}
			else
			{
				ppnode->_right = subL;
			}
			subL->_parent = ppnode;
		}
		subL->_bf = parent->_bf = 0;
	}

2.左单旋

左单旋与右单旋类似

 

void RotateL(Node* parent)//左单旋
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		parent->_right = subRL;

		if (subRL)
		{
			subRL->_parent = parent;
		}
		Node* ppnode = parent->_parent;

		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;
		if (ppnode == nullptr)
		{
			_root = subR;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (parent == ppnode->_left)
			{
				ppnode-> _left = subR;
				
			}
			else
			{
				ppnode->_right = subR;
			}
			subR->_parent = ppnode;
		}

		parent->_bf = subR->_bf = 0;//更新平衡因子
	}

3.双旋--先左旋后右旋

 先通过左旋，使其满足左左插入的形式，再通过右旋调整形状。旋转后更新平衡因子

插入有三种可能：①60为插入节点②在b子树插入③在c子树插入。三种情况插入的平衡因子调节不同

void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;

		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);
		
		//平衡因子的更新有多种情况
		if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 1;
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

4.双旋--先右旋后左旋

 与先左旋后右旋类似

插入有三种可能：①60为插入节点②在b子树插入③在c子树插入。三种情况插入的平衡因子调节不同

void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;

		RotateR(parent->_right);
		RotateL(parent);

		//平衡因子的更新有多种情况
		if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = -1;
			subRL->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
			subR->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

五、完整实现

#pragma once
#include<assert.h>
#include<iostream>
using namespace std;

template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	pair<K, V> _kv;
	int _bf;//平衡因子 右子树高度-左子树高度

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_kv(kv)
		,_bf(0)
	{}
};

template<class K,class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V>  Node;
public:
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}

		//找位置
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		//链接
		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first > kv.first)
		{
			parent->_left = cur;
		}
		else
		{
			parent->_right = cur;
		}
		cur-> _parent = parent;

		//更新平衡因子
		while (parent)
		{
			if (cur == parent->_right)
			{
				parent->_bf++;
			}
			else
			{
				parent->_bf--;
			}

			//更新祖宗节点
			if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)//子树高度改变，向上调节
			//如果当前父节点平衡因子为1或-1，则调节前平衡因子一定为0
			{
				parent = parent->_parent;
				cur = cur-> _parent;
			}
			else if (parent->_bf == 0)//子树平衡，更新结束
			//如果当前父节点平衡因子为0，则调节前平衡因子一定为1或-1
			{
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2 )
			{
				//旋转平衡处理
				if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)//新节点插入较高右子树的右侧
				{
					RotateL(parent);//左单旋 右右插入
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)//新节点插入较高左子树的左侧
				{
					RotateR(parent);//右单旋 左左插入
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateLR(parent);//先左后右双旋 左右插入
				}
				else if (parent->_bf== 2 && cur->_bf == -1 )
				{
					RotateRL(parent);//先右后左双旋 右左插入
				}
				else
				{
					assert(false);
				}
				break;
			}

			else
			{
				assert(false);//处理解决插入之前就出现问题的情况
			}
		}
		return true;
	}


	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
	}

	bool IsBalance()
	{
		return _IsBalance(_root);
	}

	int Height()
	{
		return _Height(_root);
	}

private:
	void RotateL(Node* parent)//左单旋
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		parent->_right = subRL;

		if (subRL)
		{
			subRL->_parent = parent;
		}
		Node* ppnode = parent->_parent;

		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;
		if (ppnode == nullptr)
		{
			_root = subR;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (parent == ppnode->_left)
			{
				ppnode-> _left = subR;
				
			}
			else
			{
				ppnode->_right = subR;
			}
			subR->_parent = ppnode;
		}

		parent->_bf = subR->_bf = 0;//更新平衡因子
	}

	void RotateR(Node* parent)//右单转
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		parent->_left = subLR;
		if (subLR)//如果有右子树则调整位置
		{
			subLR->_parent = parent;
		}
		Node* ppnode = parent->_parent;

		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;
		
		if (parent == _root)
		{
			_root = subL;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppnode->_left == parent)
			{
				ppnode->_left = subL;
			}
			else
			{
				ppnode->_right = subL;
			}
			subL->_parent = ppnode;
		}
		subL->_bf = parent->_bf = 0;
	}
	
	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;

		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);
		
		//平衡因子的更新有多种情况
		if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 1;
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

	void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;

		RotateR(parent->_right);
		RotateL(parent);

		//平衡因子的更新有多种情况
		if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = -1;
			subRL->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
			subR->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}
		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << " ";
		_InOrder(root->_right);
	}

	bool _IsBalance(Node* root)
	{
		if (root == NULL)
		{
			return true;
		}

		int leftH = _Height(root->_left);
		int rightH = _Height(root->_right);
		if (rightH - leftH != root->_bf)
		{
			cout <<root->_kv.first<< "节点平衡因子异常" << endl;
			return false;
		}

		return abs(leftH - rightH) < 2 && _IsBalance(root->_left) && _IsBalance(root->_right);
	}

	int _Height(Node* root)
	{
		if (root == NULL)
			return 0;

		int leftH = _Height(root->_left);
		int rightH = _Height(root->_right);

		return leftH > rightH ? leftH + 1 : rightH + 1;
	}
private:
	Node* _root = nullptr;
};

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