1 目标问题：什么是条件期望

这次先不说目标

先引用一个小学数学题

1班平均分是93,2班平均分是95,两个班的平均分怎么算

错误算法，(93+95)/2=94

除非两个班的学生数量一样，否则就是错的

正确算法

假设1班学生数量n1,平均分A1=93
假设2班学生数量n2,平均分A2=95
根据平均分的定义
A0 = 总分数/总人数
= (A1*n1 + A2*n2)/(n1+n2)
= n1/(n1+n2)*A1 + n2/(n1+n2)*A2
= 系数1*A1+系数2*A2
= 权重比例1*A1+权重比例2*A2
而权重 = 本班人数/ sum(所有班级人数和)

从这里引出了一个问题

Q1: 我们想知道总体的平均值，当然可以直接用总体的数计算，比如A0 = 总分数/总人数。但是如果我们已经知道了总体的每个部分的平均值，是否可以根据这些算出总体的平均值呢？

A1: 前面已经看到是可以的，总体均值= Σ部分均值*权重比例

Q2: 如果这个总体不是确定的，而是一个随机变量，比如我们要求这个随机变量的期望

A2: 那么权重比例就变成了随机变量的概率

因此，引出了我们要讨论的主题：

类比：总体均值= Σ部分均值*权重比例
条件期望可以这么看
E(X) = ΣPI*E(X|Yi) 和上面是一个表达方式
E(X) = P1*E(X|Y1) + ..... +Pk*E(X|Yk) = ΣPI*E(X|Yi)
E(X) = E(E(X|Y)) = ΣPI*E(X|Yi) = P1*E(X|Y1) + ..... +Pk*E(X|Yk) ,其中i属于(1,k)

2 条件期望，全期望公式

E(X) 是一个具体的数，数学期望，概率加权平均值

条件期望

E(X|Y=y1) = x1*P(x1|Y=y1)
概率 p
P*E(X|Y=y1)

随机变量

全期望公式

E(X) = E(E(X|Y)) = ΣPI*E(X|Yi) = P1*E(X|Y1) + ..... +Pk*E(X|Yk) ,其中i属于(1,k)

看下面的图理解

图是知乎的，参考 zhuanlan.zhihu.com/p/612709393

3 条件期望，全期望公式和条件概率，全概率公式的区别和联系

条件概率： P(A|B) = P(AB) / P(B)

全概率公式： P(A) = P(AB1) * P(B1) +P(AB2) * P(B2) + ......+P(ABn) * P(Bn)

条件期望： E(X|Y=y1) = x1*P(x1|Y=y1)

全期望公式： E(X) = E(E(X|Y)) = ΣPI*E(X|Yi) = P1*E(X|Y1) + ..... +Pk*E(X|Yk) ,其中i属于(1,k)

4 有什么用

用处很大

例题：
一个矿工被困矿井里，面前可以打开3个门，均等概率，1个门回到外面花费3小时，1个门回到现在地方花费5小时，1个门回到现在地方花费7小时，求问矿工回到外面平均需要时间？
设置X为矿工出去要花的时间
E(X) = 1/3* 3+ 1/3* (E(X)+5)+1/3* (E(X)+7)
3 E(X) = 3+ E(X)+5 +E(X)+7
E(X) = 15

求次数，求时间都可以用条件期望，全期望公式等

用概率没法求

1/3* 3+ 1/3* (E(X)+5)+1/3* (E(X)+7)

求次数

求概率

5 其他例子