0. 符号定义

自己画了一个图

• 下标$b$是连体坐标系原点$O_b$相对世界坐标系原点$O_p$的矢量在世界坐标系下的表示。
• 下标$p$是观察点相对世界坐标系原点$O_p$的矢量在世界坐标系下的表示。
• 下标$p/b$是观察点相对连体坐标系原点$O_b$的矢量在世界坐标系下的表示。

1. 刚体在连体坐标系下的物理量表示

1.1 矢量端点和刚体不固连

我们先来看最基本的情况，矢量的端点和刚体不固连。

1.1.1 速度表示

该矢量在连体坐标系下的速度为：

$$\begin{array}{rl}{\dot{\mathbf{x}}}_{p/b}& ={\stackrel{\circ }{\mathbf{x}}}_{p/b}+\mathbf{\omega }\times {\mathbf{x}}_{p/b}\\ & ={\stackrel{\circ }{\mathbf{x}}}_{p/b}+C(\mathbf{\omega }){\mathbf{x}}_{p/b}\end{array}$$

注意这里的$\mathbf{\omega }$是在连体坐标系下描述的（本小节同）。

其中：

• 左边的速度是矢量${\mathbf{x}}_{p/b}$的相对连体坐标系的绝对导数。
• 右边速度的第一项是矢量${\mathbf{x}}_{p/b}$相对连体坐标系的相对导数（局部导数），可以理解为是对连体坐标系各个基向量的变化率，用顶端空心点表示。
• 右边速度的第二项是各基向量对时间的导数。

$$C(\mathbf{\omega })=\left[\begin{array}{ccc}0& -{\omega }_3& {\omega }_2\\ {\omega }_3& 0& -{\omega }_1\\ -{\omega }_2& {\omega }_1& 0\end{array}\right]$$

1.1.2 加速度表示

该矢量在连体坐标系下的加速度为：

$${\ddot{\mathbf{x}}}_{p/b}={\stackrel{\circ \circ }{\mathbf{x}}}_{p/b}+2\mathbf{\omega }\times {\stackrel{\circ }{\mathbf{x}}}_{p/b}+\dot{\mathbf{\omega }}\times {\mathbf{x}}_{p/b}+\mathbf{\omega }\times (\mathbf{\omega }\times {\mathbf{x}}_{p/b})$$

可以看到除了刚体转动引起的切向加速度$\dot{\mathbf{\omega }}\times {\mathbf{x}}_{p/b}$和法向加速度$\mathbf{\omega }\times (\mathbf{\omega }\times {\mathbf{x}}_{p/b})$以外，还有矢量端点的相对加速度${\stackrel{\circ \circ }{\mathbf{x}}}_{p/b}$以及科氏加速度$2\mathbf{\omega }\times {\stackrel{\circ }{\mathbf{x}}}_{p/b}$。

推导：

根据速度的公式一样：
$$\begin{array}{rl}{\dot{\mathbf{x}}}_{p/b}& ={\stackrel{\circ }{\mathbf{x}}}_{p/b}+\mathbf{\omega }\times {\mathbf{x}}_{p/b}\end{array}$$
再求一次导数：
$$\begin{array}{rl}{\ddot{\mathbf{x}}}_{p/b}& ={\stackrel{\circ \circ }{\mathbf{x}}}_{p/b}+\mathbf{\omega }\times {\stackrel{\circ }{\mathbf{x}}}_{p/b}+\dot{\mathbf{\omega }}\times {\mathbf{x}}_{p/b}+\mathbf{\omega }\times {\dot{\mathbf{x}}}_{p/b}\end{array}$$
上面加速度右式的前两项是速度右边的第一项求导得出的，加速度后两项是速度右边的第二项求导得出的，于是我们得到：
再把速度的求导公式代入上式我们最后可以得到结果：
$$\begin{array}{rl}{\ddot{\mathbf{x}}}_{p/b}& ={\stackrel{\circ \circ }{\mathbf{x}}}_{p/b}+\mathbf{\omega }\times {\stackrel{\circ }{\mathbf{x}}}_{p/b}+\dot{\mathbf{\omega }}\times {\mathbf{x}}_{p/b}+\mathbf{\omega }\times ({\stackrel{\circ }{\mathbf{x}}}_{p/b}+\mathbf{\omega }\times {\mathbf{x}}_{p/b})\\ & ={\stackrel{\circ \circ }{\mathbf{x}}}_{p/b}+2\mathbf{\omega }\times {\stackrel{\circ }{\mathbf{x}}}_{p/b}+\dot{\mathbf{\omega }}\times {\mathbf{x}}_{p/b}+\mathbf{\omega }\times (\mathbf{\omega }\times {\mathbf{x}}_{p/b})\end{array}$$

1.2 矢量端点和刚体固连

在连体坐标系上，如果我们要描述的是与刚体固连的点的矢量${\mathbf{x}}_{p/b}$相关的物理量，因为矢量和刚体固连，局部导数为零，即${\stackrel{\circ }{\mathbf{x}}}_{p/b}=0,{\stackrel{\circ \circ }{\mathbf{x}}}_{p/b}=0$。

1.2.1 速度表示

该矢量在连体坐标系下的速度为

$${\dot{\mathbf{x}}}_{p/b}=\mathbf{\omega }\times {\mathbf{x}}_{p/b}$$

这里其实是①的一个特殊情况。

1.2.2 加速度表示

在速度表示的基础上我们继续计算加速度，该矢量在连体坐标系下的加速度为

$${\ddot{\mathbf{x}}}_{p/b}=\dot{\mathbf{\omega }}\times {\mathbf{x}}_{p/b}+\mathbf{\omega }\times (\mathbf{\omega }\times {\mathbf{x}}_{p/b})$$

2. 刚体在世界坐标系下的物理量表示

实际情况中，我们不是要讨论连体坐标系下的速度，我们可能要将速度定义在世界坐标系中，这时候刚体可能还会有运动，首先对于位移，我们有：

$${\mathbf{x}}_p={\mathbf{x}}_b+{\mathbf{x}}_{p/b}$$

对上式求导我们可以得到速度和加速度的表示。

2.1 矢量端点和刚体不固连

2.1.1 速度表示

该矢量在世界坐标系下的速度为：

$$\begin{array}{rl}{\dot{\mathbf{x}}}_p& ={\dot{\mathbf{x}}}_b+{\dot{\mathbf{x}}}_{p/b}\\ & ={\dot{\mathbf{x}}}_b+{\stackrel{\circ }{\mathbf{x}}}_{p/b}+\mathbf{\omega }\times {\mathbf{x}}_{p/b}\end{array}$$

注意这里的$\mathbf{\omega }$是在世界坐标系下描述的（本小节同）。

如果这里我们还想使用连体坐标系的角速度${\mathbf{\omega }}^{\prime }$以及连体坐标系下的位移${\mathbf{x}}_{p/b}^{\prime }$、速度${\dot{\mathbf{x}}}_{p/b}^{\prime }$和加速度${\ddot{\mathbf{x}}}_{p/b}^{\prime }$。我们需要在前面加上一个旋转矩阵$\mathbf{R}$(将世界坐标转换到连体坐标)：

$$\begin{array}{rl}{\dot{\mathbf{x}}}_p& ={\dot{\mathbf{x}}}_b+{\stackrel{\circ }{\mathbf{x}}}_{p/b}+\mathbf{\omega }\times {\mathbf{x}}_{p/b}\\ & ={\dot{\mathbf{x}}}_b+\mathbf{R}({\stackrel{\circ }{{\mathbf{x}}^{\prime }}}_{p/b}+{\mathbf{\omega }}^{\prime }\times {\mathbf{x}}_{p/b}^{\prime })\end{array}$$

2.1.2 加速度表示

该矢量在世界坐标系下的加速度为：

$$\begin{array}{rl}{\ddot{\mathbf{x}}}_p& ={\ddot{\mathbf{x}}}_b+{\ddot{\mathbf{x}}}_{p/b}\\ & ={\ddot{\mathbf{x}}}_b+{\stackrel{\circ \circ }{\mathbf{x}}}_{p/b}+2\mathbf{\omega }\times {\stackrel{\circ }{\mathbf{x}}}_{p/b}+\dot{\mathbf{\omega }}\times {\mathbf{x}}_{p/b}+\mathbf{\omega }\times (\mathbf{\omega }\times {\mathbf{x}}_{p/b})\\ & ={\ddot{\mathbf{x}}}_b+\mathbf{R}({\stackrel{\circ \circ }{{\mathbf{x}}^{\prime }}}_{p/b}+2{\mathbf{\omega }}^{\prime }\times {\stackrel{\circ }{{\mathbf{x}}^{\prime }}}_{p/b}+{\dot{\mathbf{\omega }}}^{\prime }\times {\mathbf{x}}_{p/b}^{\prime }+{\mathbf{\omega }}^{\prime }\times ({\mathbf{\omega }}^{\prime }\times {\mathbf{x}}_{p/b}^{\prime }))\end{array}$$

2.2 矢量端点和刚体固连

根据1.2 我们知道矢量端点和刚体固连有：${\stackrel{\circ }{\mathbf{x}}}_{p/b}=0,{\stackrel{\circ \circ }{\mathbf{x}}}_{p/b}=0$。

2.2.1 速度表示

该矢量在世界坐标系下的速度为：

$$\begin{array}{rl}{\dot{\mathbf{x}}}_p& ={\dot{\mathbf{x}}}_b+{\dot{\mathbf{x}}}_{p/b}\\ & ={\dot{\mathbf{x}}}_b+\mathbf{\omega }\times {\mathbf{x}}_{p/b}\\ & ={\dot{\mathbf{x}}}_b+\mathbf{R}({\mathbf{\omega }}^{\prime }\times {\mathbf{x}}_{p/b}^{\prime })\end{array}$$

2.2.2 加速度表示

该矢量在世界坐标系下的加速度为：

$$\begin{array}{rl}{\ddot{\mathbf{x}}}_p& ={\ddot{\mathbf{x}}}_b+{\ddot{\mathbf{x}}}_{p/b}\\ & ={\ddot{\mathbf{x}}}_b+\dot{\mathbf{\omega }}\times {\mathbf{x}}_{p/b}+\mathbf{\omega }\times (\mathbf{\omega }\times {\mathbf{x}}_{p/b})\\ & ={\ddot{\mathbf{x}}}_b+\mathbf{R}({\dot{\mathbf{\omega }}}^{\prime }\times {\mathbf{x}}_{p/b}^{\prime }+{\mathbf{\omega }}^{\prime }\times ({\mathbf{\omega }}^{\prime }\times {\mathbf{x}}_{p/b}^{\prime }))\end{array}$$

参考资料

[1] 《Representing Attitude: Euler Angles, Unit Quaternions, and Rotation Vectors》 6-7

[2] 刘延柱. 《多体系统动力学》第二版 24-25