我们现在可以通过多项式拟合来探索这些概念。

import math
import numpy as np
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

1. 生成数据集

max_degree = 20  # 多项式的最大阶数，20个特征
n_train, n_test = 100, 100  # 训练和测试数据集大小
true_w = np.zeros(max_degree)  # 分配大量的空间，true_w是一个20*1的列向量
true_w[0:4] = np.array([5, 1.2, -3.4, 5.6]) # 给前四项赋值，之后16项全是0，噪音项

features = np.random.normal(size=(n_train+n_test,1)) # 生成特征是200*1的的  
np.random.shuffle(features)
poly_features = np.power(features, np.arange(max_degree).reshape(1, -1))
for i in range(max_degree):
    poly_features[:, i] /= math.gamma(i + 1)  # gamma(n)=(n-1)!
# labels的维度:(n_train+n_test,)
labels = np.dot(poly_features, true_w)
labels += np.random.normal(scale=0.1, size=labels.shape) # 加上噪音

我的理解如下：

接下来查看前两个样本：

# NumPy ndarray转换为tensor
true_w, features, poly_features, labels = [torch.tensor(x, dtype=
    torch.float32) for x in [true_w, features, poly_features, labels]]

features[:2], poly_features[:2, :], labels[:2]

可以看出：features取出前两个样本，x1和x2，poly_features[:2, :]是一个2 * 20的矩阵，表示前两个样本，其中每一列对应的是把x带入多项式中每一项计算得到的结果（每一项前面的系数不加入运算，因为每一项前面的系数是在w这个向量中存储表示），labels[:2]表示前两个样本对应的标签。

至此，生成了数据集，也知道这些数据真实的标签是多少。

2. 对模型进行训练和测试

实现一个函数来评估模型在给定数据集上的损失。

def evaluate_loss(net,data_iter,loss):
    '''评估给定数据集上模型的损失'''
    metric = d2l.Accumulator(2)
    for X,y in data_iter:
        out = net(X)
        y = y.reshape(out.shape)
        l = loss(out,y)
        metric.add(l.sum(),l.numel())
    return metric[0]/metric[1] # 在整个数据集上算平均损失

接下来定义训练函数：

def train(train_features, test_features, train_labels, test_labels,
          num_epochs=400):
    loss = nn.MSELoss(reduction='none')
    input_shape = train_features.shape[-1]
    # 不设置偏置，因为我们已经在多项式中实现了它
    net = nn.Sequential(nn.Linear(input_shape, 1, bias=False))
    batch_size = min(10, train_labels.shape[0])
    train_iter = d2l.load_array((train_features, train_labels.reshape(-1,1)),
                                batch_size)
    test_iter = d2l.load_array((test_features, test_labels.reshape(-1,1)),
                               batch_size, is_train=False)
    trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.01)
    animator = d2l.Animator(xlabel='epoch', ylabel='loss', yscale='log',
                            xlim=[1, num_epochs], ylim=[1e-3, 1e2],
                            legend=['train', 'test'])
    for epoch in range(num_epochs):
        d2l.train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, trainer)
        if epoch == 0 or (epoch + 1) % 20 == 0:
            animator.add(epoch + 1, (evaluate_loss(net, train_iter, loss),
                                     evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
    print('weight:', net[0].weight.data.numpy())

3. 阶多项式函数拟合(正常)

# 从多项式特征中选择前4个维度，即1,x,x^2/2!,x^3/3!
# w的维度会正好学习为4
train(poly_features[:n_train, :4], poly_features[n_train:, :4],
      labels[:n_train], labels[n_train:])

运行结果如下：没有发现overfitting

4. 线性函数拟合(欠拟合)

线性函数拟合，减少该模型的训练损失相对困难。 在最后一个迭代周期完成后，训练损失仍然很高。 当用来拟合非线性模式（如这里的三阶多项式函数）时，线性模型容易欠拟合。

# 从多项式特征中选择前2个维度，即1和x，也就意味着，会把w的维度学习为2
train(poly_features[:n_train, :2], poly_features[n_train:, :2],
      labels[:n_train], labels[n_train:])

通过运行结果可以看出，损失非常高。因为这里只给出两个特征，也就是学习到的w的维度是2。（正常的数据用的是w向量的前四个去得到的）

在这里，相当于用线性多项式去拟合三次多项式，当然会欠拟合。也就是拿了前两个特征训练出了一个线性回归模型，就是用一个低容量模型（线性回归）去拟合复杂的数据（通过多项式计算得到的），因此会欠拟合。

和下图对照会更清晰：

5. 高阶多项式函数拟合(过拟合)

使用一个阶数过高的多项式来训练模型。 在这种情况下，没有足够的数据用于学到高阶系数应该具有接近于零的值。 因此，这个过于复杂的模型会轻易受到训练数据中噪声的影响。 虽然训练损失可以有效地降低，但测试损失仍然很高。 结果表明，复杂模型对数据造成了过拟合。

# 从多项式特征中选取所有维度，就意味着模型容量增大了，会把w学习为维度=10
train(poly_features[:n_train, :], poly_features[n_train:, :],
      labels[:n_train], labels[n_train:], num_epochs=1500)

从运行结果也能看出，w的后16个维度本来都是0，但是因为过拟合，就会受到噪音影响，把后16维也学习出来了。

因此也就是学习出了一个w维度为20的模型容量大的模型，去拟合w维度为4得到的数据集，当然会过拟合。