题目描述

有M个小孩到公园玩，门票是1元。其中N个小孩带的钱为1元，K个小孩带的钱为2元。售票员没有零钱，问这些小孩共有多少种排队方法，使得售票员总能找得开零钱。注意：两个拿一元零钱的小孩，他们的位置互换，也算是一种新的排法。（M<=10）

输入格式

输入一行，M,N,K(其中M=N+K,M<=10).

输出格式

输出一行，总的排队方案。

样例输入

4 2 2

样例输出

8

方法一：

题目分析:
由题目可知，必须满足条件N>=K,拆分这个条件：

N=K

N个小孩带的钱为1元，另外N个小孩带的钱为2元，即2N=M，可以直接用卡特兰数：

由于题目中说小孩交换位置算一种新的排队方式，所以还要再乘上 n 的全排列（乘两遍：N个小孩带的钱为1元，另外N个小孩带的钱为2元），即

N>K 

先将非法的排列方法筛选出来，再用总的排列方法-非法的排列方法，得最终排列的方法数：

总的排列方法：
因为由M人，所以总的排列方法有M！种

非法的排列可以将其分为三个部分：

• 前 2P 个小孩
• 第 2P + 1 个小孩
• 剩下的小孩，假设共 R 个（R = M - 2P - 1）

第一部分可以使用卡特兰公式进行运算，即,其中p在0~k范围内，但不能为K，因为第二部分必须为K中的一部分

其次，p可以为0，因为第二部分2p+1为持有2元的小孩，即第一个排队的人就是持有2元的小孩，也是非法的排列顺序：

由于第一部分已经用了k中的p个，第二部分有k-p个选择:

K-P

 第三部分随意排列，即r=m-2*p-1进行随意排列：

R！

所以合法的排列公式为：

用代码实现即：

 long long sum = 0;
        for (int p = 0; p <k; p++) {
            int r = m - 2 * p - 1;
            long long fail = catalan(p) * rank(k, p) * rank(n, p) * (k - p) * rank(r, r);
            sum += fail;
        }
        long long result = rank(m, m) - sum;
        printf("%lld\n", result);

所以完整的代码得，如果其中有一些小漏洞，请大佬们不吝赐教！💖💖

#include<stdio.h>

// 求排列数
long long rank(int a1, int a2) {
    if (a2 == 0) 
        return 1;
    a2--;//这里一定不能忘记，因为要排除rank(c1,c2)中,c1为0得情况
    long long pro = a1;
    for (int i = 0; i < a2; i++) {
        a1--;
        pro *= a1;
    }
    return pro;
}

// 求组合数
long long comb(int c1, int c2) {
    return rank(c1, c2) / rank(c2, c2);
}

// 求卡特兰数
long long catalan(int n) {
    return comb(2 * n, n) / (n + 1);
}

int main() {
    int m, n, k;
    scanf("%d %d %d", &m, &n, &k);
    if (n < k) {
        printf("Error: n must be greater than or equal to k.\n");
        return 0;
    }
    else {
        long long sum = 0;
        for (int p = 0; p <k; p++) {
            int r = m - 2 * p - 1;
            long long fail = catalan(p) * rank(k, p) * rank(n, p) * (k - p) * rank(r, r);
            sum += fail;
        }
        long long result = rank(m, m) - sum;
        printf("%lld\n", result);
    }
    return 0;
}

方法二

我在网上也看到一种更简便得方法,在这里分享给大家，我的理解如下：

他利用了数据结构中的next_permutation(a,a+N)方法进行全排列，不熟悉的可以看这篇文章：

http://t.csdn.cn/TREc9

我们可以把它理解为序列的字典序的前后，严格来讲，就是对于当前序列pn，他的下一个序列pn+1满足：不存在另外的序列pm，使pn<pm<pn+1

正确的排列方法为：每个2前面至少对应着一个1

用一个num记录，num如果有1就++，有2就- - ，如果过程中num<0则证明存在有一个2没有一个1对应。

代码为：

这里初始前面的1为0~K-1，后面的2为K~N-1 所以小于K的就相当于是1了，大于K的就相当于是2了，为了方便使用next_permutation()

 for (int i=0; i<K; i++) {
            a[i] = i;
        }
        for (int i=K; i<N; i++) {
            a[i] = i;
        }
        do {
            int flag = 0;
            // check每个全排列， num务必要初始化 
            int num = 0;
            for (int i=0; i<N; i++) {
                if (a[i] >= K) {
                    num--;
                } else {
                    num++;
                }
                if (num < 0) {
                    flag = 1;
                    break;
                }
            }
            if (flag == 0) {
//                for (int i=0; i<N; i++) {
//                    cout << a[i];
//                }
//                cout << "\n";
                res++;
            }

这还不够，需要判断类似1122的所有全排列包括重复的，因为初始前面的1为0~K-1，后面的2为K~N-1 ，对于0123的序列我们可以直接使用next_permutation()，完整代码如下：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int N, K, M;
int main() {
    while (cin >> N >> K >> M) {
        int a[N], res = 0;
        for (int i=0; i<K; i++) {
            a[i] = i;
        }
        for (int i=K; i<N; i++) {
            a[i] = i;
        }
        do {
            int flag = 0;
            // check每个全排列， num务必要初始化 
            int num = 0;
            for (int i=0; i<N; i++) {
                if (a[i] >= K) {
                    num--;
                } else {
                    num++;
                }
                if (num < 0) {
                    flag = 1;
                    break;
                }
            }
            if (flag == 0) {
//                for (int i=0; i<N; i++) {
//                    cout << a[i];
//                }
//                cout << "\n";
                res++;
            }
        } while (next_permutation(a,a+N));
        cout << res << "\n";
    }
    return 0;
}