【江西省研究生数学建模竞赛】题目之一蒸汽发生器倒U型管内液体流动 70页论文及MATLAB代码

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1 题目

2023年江西省研究生数学建模竞赛题目之一

荧汽发生器倒U型管内液体流动

PACTEL压水堆整体测试设备在2009年建造，用于带有垂直倒U型管莱汽发生器的压水堆热液压相关的安全性研究，参见图1。

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图 1：蒸汽发生器示意图（左）和PACTEL压水堆总体视图（右）

PACTEL压水堆设施包括一个反应堆压力容器模型、两个带有蒸汽发生器的回路、一个连接到一个回路的稳压器和应急堆芯冷却系统。压力容器为U型管结构，代表降液管、下增压室、芯体和上和气室。PACTEL压水堆设备内的蒸汽发生器U型管束包含51根倒U型管，排成10行。表1列出了每一行的U型管的管数N、高度H、管长l和弯管半径r。U 型管的内径和外径分别为D = 16.57mm和 $D_i$ = 19.05mm。

通过自然循环，冷却剂从每根倒U型管道的一侧流动到另一侧，把核反应装置中的非能动余热排出，从而提升反应堆固有安全性能。蒜汽发生器倒U型管内可能存在负的进出口压降，从而诱发冷却剂倒流现象，导致系统内部的冷却剂流量低于设计值，严重影响一回路冷却剂系统的热量输运，给反应推的运行安全带来极大挑战。对倒U型管倒流现象进行分析，研究蒸汽发生器并联倒U型管间的流量分配特性，评估自然循环条件下蒸汽发生器的流动不稳定性，对反应堆的运行安全性能具有重要意义。

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把倒U型管流入一侧称为一次侧，流出一侧称为二次侧。当管道内流量非常小时，二次侧可能发生倒流现象。由于U型管道为细长形，相关物理量仅和管线 $\leq s \leq l)$ 方向有关。为了进一步简化，假设U型管内流体速度v量定。

问题1，对一根U型管中的液体流动建立模型，研究液体的温度T、密度 $\rho$ 对管线s的依赖。

问题2; 研究一根U型管的进出口压差 $\Delta p$ 如何依赖管内流体速度w，进而分析形成液体倒流的原因。请画出 $\Delta p$ 和v之问关系的一条曲线。当 $\Delta p$ 大于某个临界值（最小压差），管内液体向前流动，称之为正流管; 否则，管内液体倒流，称之为倒流管。根据表1中的数据，计算每种类型的U型备，计算最小压关，并填入表1中的最后一列中。

问题3，以PWR PACTRT 模型下的蒸汽发生器为计算对象。10 组倒U 型管的管长依次增加（见表1) ，第i组倒U型管数基为 $N_i$ 根。在进行并联倒U型管流最分配计算时，假设并联倒U型管进出口压力相同，所有正流管进口温度相同。蒸汽发生器内部的进出口压降和系统压力相比非常小，实际中难以测量，所以将进出口压降视为未知量。系统内自然循环的流量低，很难准确测出流量的准确值，因此将一次侧进口流量也视为未知量。蒸汽发生器是一二次侧热量交换的场所，忽略一次侧通道中热基在沿程传递时的损失，单位时间内通过倒U型管传递到二次侧的热量约等于反应堆在单位时间内发出的热量，即反应堆功率P。

（1）请给出算法计算给定反应推功率下每个管道的流动情况。

（2）通过表1中的数据，计算分析U型管内倒流管占的比例，并研究这些倒流管和它的管长之间的关系。

（3）分析哪些途径可以减少倒流现象。

问题4; 请对U型管中的液体流动模型进行改进，重新探讨上述3个问题。

2 论文介绍

摘要

PACTEL压水堆整体测试设备是由压力容器、冷却系统、控制系统和测量设备组成，可以进行整体的实验模拟和测试。通过自然循环，冷却剂从每根倒U型管道的一侧流动到另一侧，把核反应装置中的非能动余热排出，从而提升反应堆固有安全性能。但是，蒸汽发生器倒U型管内可能存在负的进出口压降，从而诱发冷却剂倒流现象，导致系统内部的冷却剂流量低于设计值，严重影响一回路冷却剂系统的热量输运，给反应堆的运行安全带来极大挑战，因此本文对倒U型管倒流现象进行分析，研究蒸汽发生器并联倒U型管间的流量分配特性，评估自然循环条件下蒸汽发生器的流动不稳定性，对反应堆的运行安全性能具有重要意义。

针对问题1，基于流体力学的连续性方程和动量方程建立液体流动的数学模型。根据相关条件，采用一维的计算模型进行简化。首先，根据连续性方程，对液体流量进行求解，得到在管道任意位置s处的液体体积流率Q(s)。接着，利用动量方程分析液体流动的动力学性质，考虑压力梯度对液体速度和流量的影响，进而推导出液体的速度与位置之间的关系v(s)。由于液体的密度与温度有关，因此考虑温度和密度对流动的影响，利用物态方程求解液体密度与温度之间的关系ρ(T)。最后，综合计算结果，研究液体的温度T 、密度ρ对管线s的依赖关系，为进一步分析倒流现象和系统的安全性能提供理论基础。

针对问题2，首先根据假设的恒定流体速度v，可以推导出倒U型管内流体的流量公式。其次基于连续性方程，根据流量公式计算出倒U型管两侧的进出口流量差值。接着建立进出口压差∆p和流体速度v之间的关系。最后，根据所得到的关系曲线，进一步分析形成液体倒流的原因。当∆p大于某个临界值（最小压差）时，管内液体向前流动，称之为正流管；否则，管内液体倒流，称之为倒流管。

通过以上建模思路，分析了进出口压差∆p与流体速度v之间的关系，并进一步探究形成液体倒流的原因。同时，计算出各种类型倒U型管的最小压差，可以更好地了解和优化倒U型管的工程设计和应用。

针对问题3，首先，根据给定功率P和表1中的数据，使用对应的倒U型管的流量分配计算方法，计算出每个管道的流量分配比例；其次，利用表1中的数据，得到每组倒U型管的数量Ni以及管长。通过计算每个管道的流量分配比例，统计倒流管的数量Nl。最后，根据实际数据和曲线趋势，分析出倒流管和管长的关系。

针对问题4，基于改进后的液体流动模型，建立一根倒U型管中液体流动的数学模型，考虑流体的非均匀压力和速度分布，壁面摩擦和摩阻等因素。在模型的基础上，重新推导液体温度T和密度ρ对管线s的依赖关系，得到更精确的计算公式。通过数值解或迭代求解的方法，计算液体在不同温度和密度条件下的流动情况，得到液体速度、压差等参数的数值结果。利用计算结果，重新分析问题1、2和3中的液体流动行为，比较改进后的模型与原模型的差异，得出更准确的结论。

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