全排列

例子：$n$ 个数取 $m$ 个数有序排放

通项公式：$A_n^m(P_n^m)=n\ast (n-1)\ast (n-2)\ast \cdot \cdot \cdot \ast (n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}$

组合数

例子：$n$ 个数取 $m$ 个数，杨辉三角

递推公式：$C_i^0=1,C_i^j=C_{i-1}^j+C_{i-1}^{j-1}$

通项公式：$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$

组合数是全排列去掉顺序，所以也有 $C_n^m=\frac{A_n^m}{m!}$

性质：$C_n^m=C_n^{n-m},C_n^0+C_n^1+C_n^2+\cdot \cdot \cdot +C_n^n=2^n$

杨辉三角

最简单的杨辉三角与组合数的递推公式相同

组合数的性质在杨辉三角中体现为对称以及第 $i$ 行所有数的和为 $2^{i-1}$

不同的是杨辉三角可以带有系数 $(a,b)$，即将杨辉三角第二行赋值为 $a$ 和 $b$

而杨辉三角的第 $i$ 行就是 $(a,b)$ 的 $i-1$ 次方

我们可以通过这种方法求 $(ax+b{)}^{i-1}$ 展开后每一项前的系数

p.s.我记得这玩意好像也可以用矩阵快速幂求，但是我不会，而且可能也没啥用，就不拓展了

递推公式为第 $i$ 行第 $j$ 个数 $x_{i,j}=a\ast x_{i-1,j}+b\ast x_{i-1,j-1}$

卡特兰数

例子：括号匹配，走楼梯，出栈顺序，二叉树计数

小数据：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796

递推公式：$h_0=h_1=1,h_n={\sum }_{i=0}^{n-1}{h}_i\ast h_{n-i-1}=\frac{h_{n-1}\ast (4n-2)}{n+1}$

通项公式：$h_n=C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}=\frac{C_{2n}^n}{n+1}$

对于通项公式的拓展（以走楼梯为例）：

走楼梯问题可以抽象的认为是从 $(0,0)$ 走到 $(n,n)$ 并且不超过直线 $y=x$（只能向右或向上走）

如图为从 $(0,0)$ 走到 $(8,8)$ 并且不超过直线 $y=x$ 的一种走法

而有时我们需要求的并不是从 $(0,0)$ 走到 $(n,n)$，假定我们需要求的是从 $(x_a,y_a)$ 走到 $(x_b,y_b)$

再具体的，我们假定从 $(3,0)$ 走到 $(6,5)$

接下来以这个例子来解释做法，考虑容斥原理

如果不考虑不超过 $y=x$，那么从 $(3,0)$ 走到 $(6,5)$ 总共有 $C_{6-3+5-0}^{6-3}$ 种

不超过 $y=x$ 等价于不经过 $y=x+1$，我们将点 $(6,5)$ 对称过去得到点 $(4,7)$

从 $(3,0)$ 走到 $(4,7)$ 的方案数与从 $(3,0)$ 走到 $(6,5)$ 的不合法的方案是相等

解释如图，从 $(3,0)$ 走到 $(4,7)$ 的路线超出 $y=x+1$ 的部分对称回去即可走到 $(6,5)$

从 $(3,0)$ 走到 $(4,7)$ 总共有 $C_{4-3+7-0}^{4-3}$ 种

因此从 $(3,0)$ 走到 $(6,5)$ 的合法的方案即为 $C_{6-3+5-0}^{6-3}-C_{4-3+7-0}^{4-3}$

$(x_b,y_b)$ 关于 $y=x+1$ 对称即为 $(y_b-1,x_b+1)$，不合法方案数 $C_{y_b-1-x_a+x_b+1-y_a}^{y_b-1-x_a}=C_{x_b-x_a+y_b-y_a}^{y_b-x_a-1}$

由此可以推导得出，从 $(x_a,y_a)$ 走到 $(x_b,y_b)$ 的方案数为 $C_{x_b-x_a+y_b-y_a}^{x_b-x_a}-C_{x_b-x_a+y_b-y_a}^{y_b-x_a-1}$

例题：登山

Q：如果出现 $y_b-1<x_a$ 的情况怎么办？（可以证明不存在 $x_b+1<y_a$ 的情况）

A：可以发现这种情况不存在不合法方案，所以方案数即为 $C_{x_b-x_a+y_b-y_a}^{x_b-x_a}$

第一类斯特林数

定义：用 $S{1}_{n,m}$ 表示将 $n$ 个不同元素构成 $m$ 个圆排列的数目

递推公式及证明：

边界情况，显然 $S{1}_{0,0}=1,S{1}_{n,0}=0$

容易发现 $S{1}_{n,m}$ 可以从两个状态转移过来

一个是 $S{1}_{n-1,m-1}$，这种情况下第 $n$ 个元素单独构成第 $m$ 个圆，产生 $S{1}_{n-1,m-1}$ 的贡献

另一个是 $S{1}_{n-1,m}$，这种情况下第 $n$ 个元素可以放在前 $n-1$ 个元素的任意一个的前面，产生 $S{1}_{n-1,m}\ast (n-1)$ 的贡献

性质：

$S{1}_{n,1}=(n-1)!,S{1}_{n,2}=(n-1)!\ast {\sum }_{i=1}^{n-1}\frac{1}{i}$

$S{1}_{n,n}=1,S{1}_{n,n-1}=C_n^2,S{1}_{n,n-2}=2\ast C_n^3+3\ast C_n^4$

${\sum }_{i=0}^{n}S{1}_{n,i}=n!$

第二类斯特林数

定义：用 $S{2}_{n,m}$ 表示把 $n$ 个不同的元素划分到 $m$ 个集合的方案数（集合不能为空）

很容易联想到放球模型，描述为：将 $n$ 个不同的小球放入 $m$ 个相同的盒子中，盒子不能为空，有几种方案

证明过程与第一类类似，不再赘述

递推公式： $S{2}_{0,0}=1,S{2}_{n,0}=0,S{2}_{n,m}=S{2}_{n-1,m-1}+S{2}_{n-1,m}\ast m$

通项公式：$S{2}_{n,m}=\frac{1}{m!}{\sum }_{i=0}^m(-1{)}^i\ast C_m^i\ast (m-i{)}^n$

性质：

$S{2}_{n,1}=1,S{2}_{n,2}=2^{n-1}-1,S{2}_{n,3}=\frac{3^{n-1}+1}{2}-2^{n-1}$

$S{2}_{n,n}=1,S{2}_{n,n-1}=C_n^2,S{2}_{n,n-2}=C_n^3+3\ast C_n^4,S{2}_{n,n-3}=C_n^4+10\ast C_n^5+15\ast C_n^6$

${\sum }_{i=0}^{n}S{2}_{n,i}=B_n$（$B_n$ 为倍尔数，下面会简单介绍）

两类斯特林数之间的递推式和实际含义很类似，他们之间存在一个没啥用的 互为转置的转化关系：

${\sum }_{k=0}^{n}S1(n,k)S2(k,m)={\sum }_{k=0}^{n}S2(n,k)S1(k,m)$

倍尔数（贝尔数）

听说倍尔数与诗词有着奇妙的联系，应用倍尔数可以算出诗词的各种押韵方式

扯远了，回归正题

定义：用 $B_n$ 表示将 $n$ 个不同元素划分成若干个不相交集合的方案数

小数据：1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140

规律：如图为倍尔三角形

我们可以发现第一竖列和右边斜行都是倍尔数

它有两条规律：每排的最后一个数都是下一排的第一个数；其他任何一个数等于它左边相邻数加左边相邻数上面的一个数

放球模型

根据小球是否相同，盒子是否相同，盒子能否为空三个条件可分为八类模型

待完善···