Leetcode每日一题(困难):834. 树中距离之和(2023.7.16 C++)

news2024/12/26 0:04:46

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834. 树中距离之和

题目描述:

实现代码与解析:

DFS

原理思路:


834. 树中距离之和

题目描述:

        给定一个无向、连通的树。树中有 n 个标记为 0...n-1 的节点以及 n-1 条边 。

给定整数 n 和数组 edges , edges[i] = [ai, bi]表示树中的节点 ai 和 bi 之间有一条边。

返回长度为 n 的数组 answer ,其中 answer[i] 是树中第 i 个节点与所有其他节点之间的距离之和。

示例 1:

输入: n = 6, edges = [[0,1],[0,2],[2,3],[2,4],[2,5]]
输出: [8,12,6,10,10,10]
解释: 树如图所示。
我们可以计算出 dist(0,1) + dist(0,2) + dist(0,3) + dist(0,4) + dist(0,5) 
也就是 1 + 1 + 2 + 2 + 2 = 8。 因此,answer[0] = 8,以此类推。

示例 2:

输入: n = 1, edges = []
输出: [0]

示例 3:

输入: n = 2, edges = [[1,0]]
输出: [1,1]

实现代码与解析:

DFS

class Solution {
public:
    int nodeNum[300010]; // 结点 i 所在子树的结点个数
    int distSum[300010]; // 第一次dfs:结点 i 所在的子树的结点到 i 距离和。
                        // 第二次dfs2:结果,结点 i 到所有节点的距离和。
    int h[300010], e[300010], ne[300010], idx; // 邻接表

    // 邻接表加边
    void add(int a, int b)
    {
        e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
    }

    // 后序遍历
    void dfs(int u, int f)
    {
        for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (j == f) continue; // 防止遍历回去
            dfs(j, u); // 开始继续计算

            nodeNum[u] += nodeNum[j]; // nodeNum 初始化就为1,不用再单独+1了
            distSum[u] += distSum[j] + nodeNum[j]; // 等于子树距离和 + 此边要走的此数(也就是子树结点数)
        }
    }

    // 先序遍历
    void dfs2(int u, int f, int n)
    {
        for (int i = h[u]; ~i; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (j == f) continue;
            distSum[j] = distSum[u] - nodeNum[j] + (n - nodeNum[j]); // 这里用到总的节点个数了,参数加上n
            dfs2(j, u, n);
        }
    }
    vector<int> sumOfDistancesInTree(int n, vector<vector<int>>& edges) {

        // 初始化
        memset(h, -1, sizeof h);
        memset(distSum, 0, sizeof distSum);
        for (int i = 0; i < n; i++) nodeNum[i] = 1;

        // 构建邻接表边
        for (int i = 0; i < edges.size(); i++)
        {
            add(edges[i][0], edges[i][1]);
            add(edges[i][1], edges[i][0]);
        }

        dfs(0, -1);
        dfs2(0, -1, n);
        // 截取结果
        vector<int> res;
        res.assign(distSum, distSum + n);
        return res;
    }
};

原理思路:

        首先,我们要算出每个以 i 为根结点的子树的结点数量 nodeNum[i] 和 i 到子树其他结点的距离总和distSum[i]。

        结点数量很好计算,但是 distSum[i] 如何计算呢?用例 1 举例,当计算2的distSum时:

可以发现,其不单单是子树的 dist 相加,还要加上其各自的结点数量,因为其子树的各个结点想要到达根节点都需要经过一次此边。

nodeNum[u] += nodeNum[j]; // nodeNum 初始化就为1,不用再单独+1了
distSum[u] += distSum[j] + nodeNum[j]; // 等于子树距离和 + 此边要走的此数(也就是子树结点数)

        我们会发现现在 distSum 的含义是表示根结点 i 到其子树结点的距离和,并不是我们的结果。

        那么结果(也就是节点 i 到树中每一个结点的距离总和)如何计算呢?还是拿例 1 举例,根据现在 distSum 的含义 distSum[0](也就是根节点)就是我们的一个结果,我们可以利用此结果自顶向下的遍历,找出子树结果和根结果的关系,推算出每个节点的最终distSum(真正的结果)。

        这样就有此题最关键的核心问题?如何根据根结点的结果计算出子树根结点的结果呢?

        就例 1 来说,我们还是算节结 2 的时候(这时候是第二次遍历,自顶向下),我们用已经算出结果的distSum[0] - nodeNum[2],结点 0 到各个结点的距离总和 减去 以结点2为根节点的子树结点个数,这样减去得到的数字含义为:结点 0 到 结点1 的距离(普遍来说是到其他子树的结点距离总和) 加上 结点 2 到以结点 2 为根的子树的结点距离总和。可见还不是我们要的结果,我们再把数字加上除结点2这颗子树的节点个数(此例中就为2个,也就是结点 0 和 1),为什么要加呢?还是一样的道理,结点 0 和 1 想要到达结点 2 都需要走结点0 - 2这条边两次。

distSum[j] = distSum[u] - nodeNum[j] + (n - nodeNum[j]); // 这里用到总的节点个数了,参数加上n

        这样我们就能算出结果了。至于邻接表如何建立和如何遍历是属于基础,每个人写法可能不太一样(当然原理都是一样的),这里就不再详细解释了,不会的可以去查一查。

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