一、进制表示

1. 十进制表示

使用（0，1，2，…，9）十位数字表示，十进制运算时逢十进一。

2. 二进制表示

使用(0，1)两个数字表示，二进制运算时逢二进一。

3. 十六进制表示

使用数字和符号（0-9, A-F）表示，十六进制运算时逢十六进一。

对于任意进制数的表示N，我们把数字k在N中的位置称为序号，用i表示（序号从右到左分别为0,1,2,…，小数部分的序号从左到右分别为-1,-2,-3,…），把能用来表示N的符号(数字)的个数称为基数，用X表示（例如二进制的基数是2，十进制的基数是10，十六进制的基数是16），把X的i次方称为第i位上的权。

二、各种数制的转换

1. 各种数制转换为十进制

各种进制转换为十进制，只要对应位上的数值乘以该位的权求和即可。[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-E4525YHD-1689403623568)(./进制转换.png)]

其中m为小数的位数，n为整数的位数。

例一，将二进制1101.11转换为十进制

1101.11=1*2^3 + 1*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0 + 1*2-1 + 1*2-2=13.75

例二，将十六进制e5ad.bf转换为十进制

e5ad.bf=14*16^3 +5*16^2+10*16^1 + 13*16^0 + 11 * 16^-1 + 15*16^-2=58797.74

2. 十进制转换成二进制

将十进制数N转换为二进制数:

• 用N除以2得到商j，余数y，取余数j0；
• 如果j不是0，则继续用j除以2，取新的余数j1;
• 重复上述步骤知道商为0，将余数从右到左排列即位对应的二进制数...j1j0

小数部分转换为，小数部分乘以基数(2)得到值B，B取整数(0或1)先为高位，后为低位，继续取B的小数部分乘以2得值取整，直到小数部分为0。

例如：0.75转换成二进制

0.75 * 2 = 1.5，取整数部分1为二进制高位，此时小数部分不为0，继续用(1.5-1)*2=1.0，取整数部分1，此时小数部分已经为0停止计算。得到结果0.75D=0.11B

3. 十进制转换成十六进制

十进制转换为十六进制算法同二进制算法，将基数改为16即可。

4. 二进制和十六进制之间的转换

因为2的4次方等于16，所以用四位二进制表示一个十六进制数。得到二进制和十六进制之间的转换方法如下：

• 二进制转换为十六进制

  以小数点为分界，整数部分从右往左，每四位一组，不足四位时高位补0，；小数部分从左往右每四位一组，不足四位时低位补0。将四位二进制数换算成10进制数值显示，10-15用A-F表示即为十六进制。

• 十六进制转换成二进制

  将每一位十六进制数写成对应的四位二进制数即可。

三、二进制数的逻辑运算

1. “与”，只有当两个变量的结果都为1时，结果为1
2. “或”，只要有一个变量的为1，结果为1
3. “非”，非0为1，非1为0
4. “异或”，只要两个变量不同，结果就为1

四、带符号数的表示和运算

在计算机中为了区分正数和负数，通常用二进制数的最高位表示数的符号。对于一个字节型的二进制中最高位为符号位，剩余7位为数值为，规定用"0"代表整数，"1"代表负数，数值位表示该数的数值大小。

通常，把一个数及其符号位在机器中的一组二进制表示形式称为机器数，机器数所表示的值称为该机器数的真值。

1. 机器数的表示方法

常用的机器数的表示方法有，原码表示法，反码表示法和补码表示法。目前计算机中通常使用补码进行带符号数的运算。

1.1 原码

其中n为机器字长，x为数值。

例在8位字长的机器中

[+8]的原码=00001000 [-8]的原码=2^7 + 8=10001000

[+0]的原码=00000000 [-0]的原码=2^7 + 0=10000000

由于使用原码做数值的运算使处理器电路的设计相对复杂，所以计算机中通常使用补码做算数运算。

1.2 反码

其中n为机器字长，x为数值。

整数的反码与原码相同，负数的反码在原码的基础上，符号位不变(仍为1)，数值位按位取反。

例如在8位字长的机器中

[-0]的反码=(2^8 - 1) - 0 = 11111111 [-127]的反码=(2^8 - 127)=10000000

1.3 补码

其中n为机器字长，x为数值。

正数的补码与原码、反码相同。负数的补码在原码的基础上符号位不变(为1)，数值位按位取反，末位加1。

例如在8位字长机器中

[-8]的原码=10001000 [-127]的原码=11111111

[-8]的反码=11110111 [-127]的反码=10000000

[-8]的补码=2^8-8 = 11111000 [-127]的补码=2^8-127 = 10000001

可以看出来补码表示数的范围是-2^(n-1)~+2^(n-1)-1。

2. 真值和机器数的转换

2.1 原码转换为真值

将原码的数值位按权展开求和，由符号位决定数的正负即可由原码求出真值。

例如求原码x=00011111和原码y=10011101的真值

x = + (0 * 2^6 + 0 * 2^5 + 1*2^4 + 1 * 2^3 + 1 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2 ^0) = 31

x = - (0 * 2^6 + 0 * 2^5 + 1*2^4 + 1 * 2^3 + 1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 0 * 2 ^0) = -29

2.2 反码转换为真值

先算出反码的原码，再由原码按照上述的方式运算即可求出反码的真值。

正数的原码等于反码本身，负数的原码在反码的基础上，符号不变(1)，数值位按位取反。

例如求反码x=00001111和反码y=11100101的真值

x的原码=x的反码=00011111

x = + (0 * 2^6 + 0 * 2^5 + 0*2^4 + 1 * 2^3 + 1 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2 ^0) = 15

y的原码=10011010

y = - (0 * 2^6 + 0 * 2^5 + 1*2^4 + 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 0 * 2 ^0) = -26

2.3 补码转换为真值

同理，要求补码的真值，先求出补码的原码，在按上述方法计算。

正数的原码和补码相同，负数的补码在补码的基础上再次求补码。

例如以知补码x=00001111和补码y=11100101，求x和y

x的原码=x的补码=00001111

x = + (0 * 2^6 + 0 * 2^5 + 0*2^4 + 1 * 2^3 + 1 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2 ^0) = 15

y的原码=10011011

x = + (0 * 2^6 + 0 * 2^5 + 1*2^4 + 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2 ^0) = -27

五、补码的加减运算

计算机中带符号数通常用补码表示，运算结果也自然是补码，其运算特点是符号位和数值位参与运算，并且自动获得结果(包括符号位和数值位)

两数补码的和等于两数和的补码

两个补码x1,x2的减法运算为x1的补码 + (-x2)的补码=[x1 - x2]的补码

计算机中带符号数用补码表示时有如下优点

• 可以将减法运算变为加法运算，因此可以使用同一个运算器实现加法和减法运算，简化了电路。
• 无符号数和带符号数的加法运算可以使用同一个加法器实现，结果都是正确的。