1.需求描述以及分析

需求描述：

猴子第一天摘了若干个桃子，第一天吃了若干个桃子中的一半，觉得不过瘾，又多吃了一个。

第二天早上又将第一天剩下的桃子吃了一半，并且也觉得不过瘾，又多吃了一个。

第三天早上有讲第二天剩下的桃子吃了一半，并且也觉得不过瘾，又多吃了一个。

以后每天早上都会吃前一天剩下的一半桃子，且会多吃一个。

到第10天的时候发现只剩下一个桃子了，求猴子第一天一共摘了多少桃子？

需求分析：

猴子每天都会吃掉前一天所剩桃子数的一半，可以得到这样一个推理过程：

• 第一天吃掉了一半的桃子，还剩下一半，又多吃了一个，第二天吃了第一天所剩桃子数的一半，并且也多吃了一个。
• 那么就得到：第1天的桃子个数是第2天所吃的桃子个数加1后的2倍，第2天的桃子个数是第3天所吃的桃子个数加1后的2倍，依次类推，直到只剩下1个桃子。第n天的桃子数就是第n+1天所吃的桃子个数加1后的2倍。

计算猴子每天吃的桃子个数时，需要从第10天开始计算，因为明确知道第10天只有1个桃子，然后再算第9天的桃子个数，第9天的桃子树等于第10天的桃子树加1乘2的个数，第9天的桃子树就是(1+1)*2=4个，第9天就是4个桃子，按照这个思路一直计算第8天、第7天，一直到第一天为止，将每天的桃子数累加起来，就是第一天摘了多少个桃子。

2.递推方式实该该程序

首先使用递推的方式来实现这个程序，设计思路如下：

• 已知第1天的桃子个数是第2天所吃的桃子个数加1后的2倍，第2天的桃子个数是第3天所吃的桃子个数加1后的2倍。

• 我们可以将每天的桃子数放在一个列表mp里，在列表中填充11个None值，只有10天，填充11个元素的目的是，索引为0的元素不会被处理，因此要填充11个元素，已知第10天的桃子数为1，那么就将索引为10的元素，初始化成1：mp[10]=1。

• 可以设n天的桃子数为mp[n]，递推表达式就是：mp[n]=(mp[n+1]+1)*2，且mp[10]=1。

• 确定好表达式之后，我们就可以写一个for循环，已知第10天为1个桃子了，那么就从第9天开始循环，已知递推循环到第1天，每循环一次，就根据递推表达式，计算出这天的桃子树，递推表达式会将后一天的桃子数加1并且乘以2，因此不用手动累加每天的桃子个数，到了第一天时，一定是准确的桃子个数。

  例如第一次循环时第9天，根据递推表达式mp[9] = (mp[9+1] + 1) *2 = mp[9] = (mp[10] + 1) = 2 * 2 = 4 ，第9天的桃子数就是4个，以此类推。

def monkey_peach():
    #首先定义一个列表，存放11个元素，表示猴子每天的桃子数量，放11个是因为索引为0的元素不会被处理，10天，一直要处理到索引为10的元素，因此要放11个元素
    mp = [None] * 11
    #已知第10天的桃子数量为1，因此直接给第10天赋值为1，表示1个桃子
    mp[10] = 1
    #第10天不用处理，从第9天开始循环遍历，一直到第1天，需要采用逆推的方式，因此步长为-1
    for n in range(9, 0, -1):
        #带着每次循环的天数，去套逆推表达式，得到本天的桃子数量
        mp[n] = (mp[n + 1] + 1) * 2
    #由于当天的桃子数量都是后一天桃子数+1的2倍，因此无需对列表中的元素进行累加，求第一天摘了多少个桃子，直接返回索引为1的元素即可
    return mp[1]

print('猴子第一天一共摘了{}个桃子'.format(monkey_peach()))

3.递归方式实现该程序

使用递推方式，每次都会用当前的天+1之后得到后一天的桃子树，然后加1乘2得到当天的桃子树，这个递推关系相当于在一个函数的内部又调用了一遍函数，所以我们可以使用递归函数来实现这个例子。

递归的结束条件就是当循环到第10天时，返回1。

代码如下：

def monkey_peach(day):
    if day == 10:
        return 1
    else:
        return (monkey_peach(day + 1) + 1) * 2

print('猴子第一天一共摘了{}个桃子'.format(monkey_peach(1)))

递归的循环过程是：将传递的参数带入到循环体内，开始进行递推，直到满足循环结束条件时，递推结束，然后开始回归，将最后一次递推执行的结果，向前面递推的进行运算，直到第一个递推结果处为止，最后返回对应的结果。

猴子吃桃的递归遍历过程：

1）首先开始递推

递归函数：monkey_peach(day + 1) + 1)

• 调用函数时传入day的实参为1，即day=1，视作为day1。
• 开始第一次递推：day+1=1+1=2，即day1+1，视作为day2。
• 开始第二次递推：day+1=2+1=3，即day2+1，视作为day3。
• 开始第三次递推：day+1=3+1=4，即day3+1，视作为day4。
• 开始第四次递推：day+1=4+1=5，即day4+1，视作为day5。
• 开始第五次递推：day+1=5+1=6，即day5+1，视作为day6。
• 开始第六次递推：day+1=6+1=7，即day6+1，视作为day7。
• 开始第七次递推：day+1=7+1=8，即day7+1，视作为day8。
• 开始第八次递推：day+1=8+1=9，即day8+1，视作为day9。
• 开始第九次递推：day+1=9+1=10，10满足递归结束条件：if day == 10，此时递推结束，第九次递推拿到return返回值1。

2）然后带着返回值开始回归遍历计算

• 带着第九次递推的返回值去回归。

• 回归到第八次递推，即day9，此时day9的结果就是((day9+1)+1)*2，day9+1为day10，day10的值1，然后套入公式中，即day9=(1+1)*2=4。

• 回归到第七次递推，即day8，此时day8的结果就是((day8+1)+1)*2，day8+1为day9，day9的值为4，然后套入公式中，即day8=(4+1)*2=10

• 回归到第六次递归，即day7，此时day7的结果就是((day7+1)+1)*2，day7+1为day8，day8的值为10，然后套入公式中，即day7=(10+1)*2=22

• 回归到第五次递推，即day6，此时day6的结果就是((day6+1)+1)*2，day6+1为day7，day7的值22，然后套入公式中，即day6=(22+1)*2=46。

• 回归到第四次递推，即day5，此时day5的结果就是((day5+1)+1)*2，day5+1为day6，day6的值为46，然后套入公式中，即day5=(46+1)*2=94

• 回归到第三次递归，即day4，此时day4的结果就是((day4+1)+1)*2，day4+1为day5，day5的值为94，然后套入公式中，即day4=(94+1)*2=190

• 回归到第二次递推，即day3，此时day3的结果就是((day3+1)+1)*2，day3+1为day4，day4的值190，然后套入公式中，即day3=(190+1)*2=382。

• 回归到第一次递推，即day2，此时day2的结果就是((day2+1)+1)*2，day2+1为day3，day3的值为382，然后套入公式中，即day2=(382+1)*2=766

• 到此递推和回归就结束了，带着返回值766与调用函数传递的day1进行运算，day1的结果就是((day1+1)+1)*2，day1+1位day2，也就是递归函数的运算结果766，套入公式中即day1=(766+1)*2=1534

1534就是函数的返回值。