ARPACK特征值求解分析

news2024/11/24 18:33:57

线性方程组求解、特征值问题是数值线性代数的主要研究内容。力学、电磁等许多问题，最终都可以归结为特征值、特征向量的求解。

ARPACK使用IRAM(Implicit Restarted Arnoldi Method)求解大规模系数矩阵的部分特征值与特征向量。了解或者熟悉IRAM算法，必定有助于更好地使用ARPACK中相关特征值求解函数。

本文拟就ARPACK中特征值求解的IRAM算法进行分析，希望对从事相关研究的朋友们有所帮助。

零、约定

对于n阶级复矩阵 $\boldsymbol{A}\in \mathbb{C}^{n\times n}$ ，若存在n阶向量 $\boldsymbol{x}\in \mathbb{C}^{n}$ 与标量 $\lambda \in \mathbb{C}^{1}$ ，满足 $\boldsymbol{\mathbf{A}}\boldsymbol{\mathbf{x}}=\lambda \boldsymbol{x}$ ，则称 $\lambda$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值， $\boldsymbol{x}$ 是对应的特征向量。

更一般地，若对于n阶级复矩阵 $\boldsymbol{A}\in \mathbb{C}^{n\times n}$ 、 $\boldsymbol{B}\in \mathbb{C}^{n\times n}$ ，若存在n阶向量 $\boldsymbol{x}\in \mathbb{C}^{n}$ 与标量 $\lambda \in \mathbb{C}^{1}$ ，满足 $\boldsymbol{\mathbf{A}}\boldsymbol{\mathbf{x}}=\lambda\boldsymbol{B} \boldsymbol{x}$ ，则称 $\lambda$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的广义特征值， $\boldsymbol{x}$ 是对应的广义特征向量。

定义Hessenberg矩阵 $\boldsymbol{H}$ ，

$\boldsymbol{H}=\begin{pmatrix} h_{1,1} & h_{1,2} & \cdots & h_{1,k}\\ h _{2,1} & h_{2,2} & \cdots &h_{2,k} \\ 0& \ddots& \ddots &\vdots \\ 0& 0 & h_{k,k-1}& h _{k,k} \end{pmatrix}$

为了叙述方便，本文以一般特征值问题进行叙述，而不讨论广义特征值。

一、Arnoldi分解

在Arnoldi于1951年发表的文章中，通过Galerkin余量法，提出了一种将矩阵 $\boldsymbol{A}$ 约化为Hessenberg矩阵的方法，即

$\left [ \kappa _{i} \right ]\left ( \lambda \boldsymbol{I}-\boldsymbol{u} \right )\left [ k_{i} \right ]\boldsymbol{c}=0$

上式也可以写作

$AV=VH+fe_{k}^{T}$

其中， $\boldsymbol{V}\in \mathbb{C}^{n\times k }$ , $\boldsymbol{H}\in \mathbb{C}^{k\times k }$ , $\boldsymbol{f}\in \mathbb{C}^{n }$ , $e_{k}^{T}=\left ( 0,0,\cdots,0,1 \right )\in \mathbb{C}^{k}$ ,

且满足， $\boldsymbol{V}^{H}\boldsymbol{V}=\mathbf{I}$ ， $\boldsymbol{V}^{H} \mathbf{f}=\mathbf{0}$ 。

参考书籍

Gene H. Golub. Matrix Computations.

徐树方. 数值线性代数. 北京大学出版社, 2013.

参考文献

Arnoldi W E .The principle of minimized iterations in the solution of the matrix eigenvalue problem[J].Quarterly of Applied Mathematics, 1951, 9(1).DOI:10.1093/qjmam/4.4.466.

D,C,Sorensen.Implicit Application of Polynomial Filters in a k-Step Arnoldi Method[J].Siam Journal on Matrix Analysis & Applications, 1992.DOI:10.1137/0613025.

Burrus C S , Cox S J , Radke R J .A Matlab Implementation of the Implicitly Restarted Arnoldi Method for Solving Large-Scale Eigenvalue Problems[J]. 2000.