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文章目录

一、铺垫
二、整数二分模板分析
三、模板应用 —— 数的范围
四、浮点二分模板分析
五、模板应用 —— 数的三次方根

二分算法有时是一个很玄乎的算法，有时稀里糊涂就对了，有时不是死循环就是查找错误。其实就是边界问题处理不当，所以对于二分来说，很有必要有一定的模板，帮助我们快速解决问题。
今天，我们将围绕整数二分和浮点二分进行讲解。

一、铺垫

概念：二分算法，就是在一段 单调且有序 的区间中通过某些条件，不断对二分的起始边界和结束边界进行调整。从而让区间不断压缩，直至找出二分答案，在每次二分后，区间或多或少都会改变。

二分对于我们来说应该是不陌生的。二分查找 大家应该都听说过，这其实就是二分的一层演变拓展，变为更加精确的查找某些值。

概念部分对 单调性 略有提及。其实对于二分算法，区间具有单调性一定可以二分，但是二分的题目不一定有单调性。

对于二分算法来说，二分是一定会找到答案的。因为二分不断压缩区间，最后必定会分出一个值。

但是这个答案仅仅是对于二分这个算法求出的答案。答案是否正确，还是要结合题目判断。简约的说就是二分的答案不一定是题目的答案，但是二分一定会有答案，无解是对于问题的。

有了这些铺垫，我们再看板子。

二、整数二分模板分析

整数二分有两个板子，这也是我觉得最好的板子，简洁，清晰明了。

我们的两个板子二分的最终结果为 边界值 。

模板1：区间 [l, r] 被划分成 [l, mid] 和 [mid + 1, r] 时使用

bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

int binarySearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;    // check()判断mid是否满足性质
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}

模板2：区间 [l, r] 被划分成 [l, mid - 1] 和 [mid, r] 时使用

int binarySearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

这里的 check(mid) 函数是为了判断每次二分取的 中间点 mid 是否满足特定性质，从而对区间进行 正确压缩 。

接下来，我们对两个板子进行分析：

模板1：

假定一段区间单调递增，区间最左端为 l，区间最右端为 r，区间中点：mid = (l + r) / 2

对于 模板 1 ，二分找的是 蓝色区间的左边界点 。

mid 可能出现在两个区间中。 check(mid) 检查 mid 是否在 蓝色区间 中。

mid 所在区间为 蓝色区间 ：

此时 check(mid) 为真，答案在 [l, mid] 区间内。这里取 mid 的原因是查找的是蓝色左端点，mid 在蓝色区间，mid 可能就 是答案 。由于查找的是 左端点 ，所以其他 大于 mid 的情况就 不可能 了。调整 r = mid，缩短右边，在左边找答案。

mid 所在区间为 红色区间 ：

此时 check(mid) 为假，答案在 [mid + 1, r] 区间内。这里不取 mid 的原因是查找的是蓝色左端点，mid 在红色区间，所以答案肯定不会落在 mid 上，只有 mid + 1 才 有可能 。调整 l = mid + 1，缩短左边，在右边找答案。

区间划分情况为 [l, mid] 和 [mid + 1, r]。

模板 2：

假定一段区间单调递增，区间最左端为 l，区间最右端为 r，区间中点：mid = (l + r + 1) / 2(这里为什么这么取中点我们先不关心，马上会讲解)

对于 模板 2，二分找的是 红色区间的右边界点。

mid 可能出现在两个区间中。check(mid) 检查 mid 是否在 红色区间 中。

mid 所在区间为 红色区间 ：

此时 check(mid) 为真，答案在 [mid, r] 区间内。mid 在红色区间中，答案 可能取到 mid ，所以区间包含 mid。由于查找的是 右端点，所以小于 mid 的无需考虑。调整 l = mid，缩短左边，在右边查找答案 。

mid 所在区间 蓝色区间 ：

此时 check(mid) 为假，答案在 [l, mid - 1] 区间内。mid 在蓝色区间中，答案不可能取到 mid，所以区间不包含 mid ，只有 mid - 1 才 有可能 。右边的区间都不需要考虑了。调整 r = mid - 1，缩短右边，在左边查找答案 。

区间划分情况为 [l, mid - 1] 和 [mid, r] 。

讲到这，我们对二分的情况有一些了解后，我们解答一下，为什么 模板 2 的 mid = (l + r + 1) / 2 ：

/ 是下取整的，如果 l = r - 1 ,二分取中点 mid 时，mid = (l + r) / 2 = (l + l + 1) / 2 = l

一旦 check(mid) 满足，那么 l = mid，由于 mid = l，那么 l 就被调整为了 l ，相当于没变，这就 死循环 了。+1 就可以避免掉这种情况。

总结一下：模板 1 找区间左边界点，模板 2 找区间右边界点。

例如模板1在上图中找的就是 第一个 3，左端点 ；模板2找的是 最后一个3，右端点 。

三、模板应用 —— 数的范围

描述：

给定一个按照升序排列的长度为 n 的整数数组，以及 q 个查询。

对于每个查询，返回一个元素 k 的起始位置和终止位置（位置从 0 开始计数）。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

输入格式：

第一行包含整数 n 和 q，表示数组长度和询问个数。

第二行包含 n 个整数（均在 1 ∼ 10000 范围内），表示完整数组。

接下来 q 行，每行包含一个整数 k，表示一个询问元素。

输出格式：

共 q 行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

数据范围：

1 ≤ n ≤ 100000
1 ≤ q ≤ 10000
1 ≤ k ≤ 10000

输入样例：

6 3
1 2 2 3 3 4
3
4
5

输出样例：

3 4
5 5
-1 -1

思路：

这道题就是模板的经典应用，例如查找的是这样一段区间：

我们查找的是 3 出现的范围，那么返回的就是 3 出现位置的 左端点 和 右端点 。

这就很简单了，左端点就套用模板1，右端点套用模板2。

需要注意的就是 二分结果是否正确 的判断，以及 check(mid) 的写法。

并且二分结束时，l 是必定等于 r的，所以到时候输出 l 和 r 任意一个即可。

小技巧：如果拿捏不准该使用哪个模板，那么就现根据题意写出 check 后的区间调整状况，根据这个选择模板。

让我们看看代码怎么写：

AC，没问题

四、浮点二分模板分析

相较于整数二分，浮点二分更加简单：

bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

double binarySearch_3(double l, double r)
{
    const double eps = 1e-6;   // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求
    while (r - l > eps)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}