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如果没有空间向量解析几何基础，理解起来有些困难，因此稍微解说一下。

两个向量的正交变换我们分为3步：

1. （a1,a1)/ (|a1| * |a2|)是a1,a2之间的夹角的cos值
2. cos值乘以|a2|后，得到a2在a1上映射的长度值，再乘以a1/|a1|，得到该长度值在a1向量方向上的向量值
3. 用a2 减去该向量值后，得到a2跟a1正交后的向量值。

三维以及三维以上的正交变换，跟上述变换是一样的，只不过要减去各个方向的向量值。

我在这里曾将犯过一个错误，不明白乘以a1/|a1|的含义，直觉不自然的乘以a2/|a1|，结果得到错误的值，以此为戒。

另外，同济版线性代数中的解说如下：