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题目链接

解题思路

首先观察样例。似乎什么也观察不出来？

那就根据题目描述中所给的图表做。首先找到对角线，将图形沿着对角线一分为二。注意对角线上可以看到一个人，所以答案要加 $1$。

其次逐个分析。可以发现，两部分是对称的。设每两个人之间的距离为 $1$ ，样例就简化为一个直角边长 $(n-1)$ 等腰直角三角形(不算左下角)。

建立笛卡尔坐标系。将左下角设为 $(0,0)$ ,这样就可以将图中的每个与 $(0,0)$ 有边连接的点表示出来。

不难发现，除 $(1,0)$ 外，剩下的每个与 $(0,0)$ 有边相连的点的横坐标与纵坐标所对应的值互质。

观察每一行。可以发现，每行与 $(0,0)$ 有边相连的点的个数正好是与横坐标相互质的数的个数，也就是 $\phi$$(i)$ 。

所以该题目就可以转化为求 $2{\sum }_{n-1}^{i=1}$$\phi$$(i)+1$

但为了保证严谨，第 $1$ 行的 $(1,0)$ 一般单独处理。

则该题目被转化为求 $2{\sum }_{n-1}^{i=2}$$\phi$$(i)+3$

代码实现

前置知识：试除法求 $\phi$$(i)$

inline int phi(int x)
{
	int ret=x;
	for(int i=2;i*i<=x;++i)
	{
		if(x%i==0)
		{
			ret=ret/i*(i-1);
			while(x%i==0)x/=i;
		}
	}
	if(x>1)ret=ret/x*(x-1);
	return ret;
}

首先 1$\to$n-1 (或 2$\to$n-1) 扫一遍。然后再用试除法(时间复杂度 $\sqrt{n}$ ) 求出 $\phi$$(i)$ ,将其累加起来就解决了。

最后注意要加上对角线一行的 1 (或 3)!

但是当 $n=1$ 时，由于 $(0,0)$ 无法被看到(自己不能看到自己),所以答案是 $0$

时间复杂度 $O(n\sqrt{n})$ ,可以轻而易举的通过测试。

AC代码

当求 $2{\sum }_{n-1}^{i=2}$$\phi$$(i)+3$ 时

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,ans=0;
inline int phi(int x)//试除法求欧拉函数
{
	int ret=x;
	for(int i=2;i*i<=x;++i)
	{
		if(x%i==0)
		{
			if(x%i==0)
			{
				while(x%i==0)x/=i;
				ret=ret/i*(i-1);
			}
		}
	}
	if(x>1)ret=ret/x*(x-1);
	return ret;
}
signed main()
{
	cin>>n;
	if(n==1)puts("0"),exit(0);//特判，也可写作N<2
	for(int i=2;i<n;++i)ans+=phi(i);//统计答案
	cout<<ans*2+3;
	return 0;
}

当求 $2{\sum }_{n-1}^{i=1}$$\phi$$(i)+1$ 时

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,ans=0;
inline int phi(int x)//试除法
{
	int ret=x;
	for(int i=2;i*i<=x;++i)
	{
		if(x%i==0)
		{
			if(x%i==0)
			{
				while(x%i==0)x/=i;
				ret=ret/i*(i-1);
			}
		}
	}
	if(x>1)ret=ret/x*(x-1);
	return ret;
}
signed main()
{
	cin>>n;
	if(n==1)puts("0"),exit(0);//特判
	for(int i=1;i<=n-1;++i)ans+=phi(i);//统计答案
	cout<<ans*2+1;
	return 0;
}

拓展题目

如果你通过了这道题，你还可以试试这些题目：

[SDOI2012] Longge 的问题

[SDOI2008] 沙拉公主的困惑