P1140 数的划分

原题点这里

思路

这是一道动态规划的题目。

步骤主要分 $5$ 步：

状态的定义
转移式的推到
递推顺序的判定
边界的确定
结果的输出

下面，我们针对这道题，细细地讲解一下每一个步骤

一、状态的定义

这道题的状态最简单，又直白——就是 $f_{i, j}$ 表示数字 $i$ ，划分成 $j$ 个部分的方案数。
对于状态的定义大家可以多去试一试，不行了就换一种思路，做多了就会有思路，一般的定义所具备的都是至少有一个 $f_i$ 代表是第 $i$ 个。

二、转移式的推到

一般情况下，如果状态找对了，那么转移式便会呼之欲出了。

这道题比较难想，运用到分类讨论的思想！

情况1：

如果分出的数中，有一个 $1$ ，那么 $f_{i, j}$ 的方案数其实就与 $f_{i - 1, j - 1}$ 的方案数相同。

可以这样考虑：如果有一个 $1$ ，去掉这个 $1$ 之后就会有 $j - 1$ 个部分，总和也会因 $- 1$ 而跟随着 $- 1$ ，故总和为 $i - 1$ ，此时少了个 $1$ 不会影响其他数的方案数

情况2：

如果分出的数中，没有 $1$ ，那么 $f_{i, j}$ 的方案数其实就与 $f_{i - j, j}$ 相同。

可以这样考虑：如果有一个 $1$ ，每一个部分减掉这个 $1$ 之后还是 $j$ 个部分，总和也会因每个部分 $- 1$ 而跟随着 $- j$ ，故总和为 $i - j$ ，此时每一组少了个 $1$ 不会影响方案数

综上所述：
$\large f_{i, j} = f_{i - 1, j - 1} + f_{i - j, j}$

三、递推顺序的判定

这一部分就很简单了，对于这道题因为我们发现一定会要么相同，要么由前面的状态所转移。

为了保持无后效性，我们需采用由小到大的顺序枚举

四、边界的确定

这道题大家可以想一想，如果一个数只划分成 $1$ 份，那么方案数只有 $1$ 种。

所以，这就是我们初始化的内容：将 $f_{i, 1}$ 全部初始化为 $1$ 。

一般情况下，边界都是初始化最初用到的值。

五、结果的输出

根据我们的状态的定义，不难确定出答案就是 $f_{n, k}$ （ $n, k$ 就是题目中所说的）

香喷喷的代码来了

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1e3 + 10;

int n, k;
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> k;
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++) f[i][1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i ++)
        for (int j = 2; j <= min(i, k); j ++)
            f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + f[i - j][j];
            
    cout << f[n][k] << endl;
}