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四、完全背包

完全背包：每一个物品可以选无限次

完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件

01背包的核心代码

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

我们知道01背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次。

而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历，即：

完全背包的核心代码

// 先遍历物品，再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

    }
}

• 在一维数组中，01背包问题必须先遍历物品，后遍历背包。完全背包两个for循环嵌套顺序是无所谓的
• 在一维数组中，01背包问题遍历背包时必须倒序遍历。完全背包正序遍历
• 倒序遍历，必须先遍历物品，再遍历背包。正序遍历，则for循环嵌套顺序无所谓

Code

//先遍历物品，再遍历背包
private static void testCompletePack(){
    int[] weight = {1, 3, 4};
    int[] value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;
    int[] dp = new int[bagWeight + 1];
    for (int i = 0; i < weight.length; i++){ // 遍历物品
        for (int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++){ // 遍历背包容量
            dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    for (int maxValue : dp){
        System.out.println(maxValue + "   ");
    }
}

//先遍历背包，再遍历物品
private static void testCompletePackAnotherWay(){
    int[] weight = {1, 3, 4};
    int[] value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;
    int[] dp = new int[bagWeight + 1];
    for (int i = 1; i <= bagWeight; i++){ // 遍历背包容量
        for (int j = 0; j < weight.length; j++){ // 遍历物品
            if (i - weight[j] >= 0){
                dp[i] = Math.max(dp[i], dp[i - weight[j]] + value[j]);
            }
        }
    }
    for (int maxValue : dp){
        System.out.println(maxValue + "   ");
    }
}

12、零钱兑换 II

力扣题目链接

• 组合不强调元素之间的顺序，排列强调元素之间的顺序

思路：

动规五部曲

• 确定dp数组以及下标的含义

dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]

• 确定递推公式

dp[j] 就是所有的dp[j - coins[i]]（考虑coins[i]的情况）相加。

所以递推公式：dp[j] += dp[j - coins[i]];

• dp数组初始化

首先dp[0]一定要为1，dp[0] = 1是 递归公式的基础，下标非0的dp[j]初始化为0，这样累计加dp[j - coins[i]]的时候才不会影响真正的dp[j]

• 确定遍历顺序

求组合数，先遍历物品，再遍历背包

for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
    for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
        dp[j] += dp[j - coins[i]];
    }
}

求排列数，先遍历背包，再遍历物品

for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
    for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
        if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];
    }
}

• 举例推导dp数组

• 如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

• 如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

Code

class Solution {
    public int change(int amount, int[] coins) {
        //递推表达式
        int[] dp = new int[amount + 1];
        //初始化dp数组，表示金额为0时只有一种情况，也就是什么都不装
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < coins.length; i++) {
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {
                dp[j] += dp[j - coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
}

13、组合总和 Ⅳ

力扣题目链接

本题与零钱兑换差别就在于物品和背包的遍历顺序

动规五部曲

• 确定dp数组以及下标的含义

dp[i]: 凑成目标正整数为i的排列个数为dp[i]

• 确定递推公式

dp[i] += dp[i - nums[j]];

• dp数组如何初始化

dp[0] = 1

• 确定遍历顺序

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

遍历顺序：target（背包）放在外循环，将nums（物品）放在内循环，内循环从前到后遍历。

• 举例推导dp数组

Code

class Solution {
    public int combinationSum4(int[] nums, int target) {
        int[] dp = new int[target + 1];
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i <= target; i++) {
            for (int j = 0; j < nums.length; j++) {
                if (i >= nums[j]) {
                    dp[i] += dp[i - nums[j]];
                }
            }
        }
        return dp[target];
    }
}