本文主要内容：本文主要介绍几种特殊矩阵的压缩存储。特殊矩阵指具有许多相同矩阵元素或零元素，并且这些相同矩阵元素的分布有一定规律性的矩阵，常见的特殊矩阵有对称矩阵、上（下）三角矩阵、对角矩阵等。压缩存储指为多个值相同的元素只分配一个存储空间，对零元素不分配存储空间，其目的是节省存储空间。

特殊矩阵的压缩存储方法：找出特殊矩阵中值相同的矩阵元素的分布规律，把那些呈现规律性分布的、值相同的多个矩阵元素压缩到一个存储空间中。具体方法：实现一个映射函数，将矩阵下标与一维数组下标相映射。

1.对称矩阵

（1）对称矩阵定义

若对一个n阶方阵A[1…n][1…n]中的任意一个元素aij都有aij=aji（1≤i，j≤n），则称其为对称矩阵。其中的元素可以划分为3个部分，即上三角区、主对角线和下三角区。

（2）对称矩阵的压缩存储

对于n阶压缩矩阵，上三角区的所有元素和下三角区的对应元素相同，若仍采用二维数组存放，会浪费几乎一半的空间，为此将对称矩阵A[1…n][1…n]存放在一维数组B[n(n+1)/2]中，即将元素aij存放在bk中。只存放下三角部分（含主对角线）的元素。

由于对称矩阵一定是方阵，不妨设i=j=n，则**下三角区的元素加上主对角线上的元素总和（需要存储的数据数量）**为：
$$S=n(n+1)/2$$
第i行第j个元素的序列号为：
$$aij=[1+2+...+(i-1)]+j=i(i-1)/2+j.$$
存储在矩阵中的元素下标k为：
$$k=i(i-1)/2+j-1$$

（3）对称矩阵中元素与数组元素下标的对应关系

数组从0开始，所以对称矩阵中元素的序号与数组元素下标相差1

2.三角矩阵

（1）三角矩阵定义

在下三角矩阵中，上三角区的所有元素均为同一常量。其存储思想与对称矩阵类似，不同的是，只需要存储上三角区的常量一次。可以将下三角矩阵A[1…n][1…n]压缩存储在B[n(n+1)/2+1]中。三角矩阵形式如下图所示。
下三角矩阵：

上三角矩阵：

（2）三角矩阵的压缩存储

下三角矩阵的压缩存储与对称矩阵相同，唯一不同的是多出来一个元素B[n(n+1)/2]存储上三角区的常数C。上三角矩阵类似。

（3）三角矩阵中元素与数组元素下标的对应关系

下三角矩阵：

上三角矩阵：
元素aij的序号为：
$$aij=[n+(n-1)+...+(n-i+2)-(j-i+1)]=(i-1)(2n-i+2)/2+(j-i).$$
存储在矩阵中的元素下标k为：
$$k=(i-1)(2n-i+2)/2+(j-i)-1$$

上三角矩阵在内存中的压缩存储形式:

3.三对角矩阵/带状矩阵

（1）三对角矩阵定义

对角矩阵也称带状矩阵。对于n阶方阵A中的任意元素aij，当|i-j|>1时，有aij=0(1≤i,j≤n)，称为三对角矩阵。在三对角矩阵中，所有非零元素都集中在以主对角线为中心的3条对角线的区域，其他区域元素都为0.

（2）三对角矩阵的压缩存储、元素与数组元素下标的对应关系

将3条对角线上的元素按行优先方式存放在一维数组B中，元素aij在数组中存放的下标是：
$$k=2i+j-3$$

4.稀疏矩阵

矩阵中非零元素的个数相对于矩阵元素的总个数来说非常少，即矩阵元素个数>>非零元素个数，这种矩阵称为非零矩阵。
对于非零矩阵，仅存储非零元素即可，但零元素的分布往往没有规律，所以仅存储非零元素的值是不够的，还要一起存储它所在的行和列。可以存储三元组（行标，列标，值）。稀疏矩阵压缩存储后就失去了随机存取特性。

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