完全背包问题（二维数组 / 一维数组实现）

news2024/10/5 20:23:54

完全背包

完全背包的一维和二维dp数组

有 N 件物品和容量为 W 的背包，第 i 件物品的重量是 weight[i]，价值是 value[i]

每件物品都有无限个，即同一物品能够放入背包多次，求背包所能装入物品的最大价值总和

完全背包和 0-1 背包不同就在于每种物品有无数件，同一物品能够放入背包多次

二维数组实现

// 完全背包问题
// 二维dp数组
// n个物品 背包容量为m
int knapSack(int n, int m, vector<int>& weight, vector<int>& value) {
    vector<vector<int> dp(n+1, vector<int>(m+1, 0));
    // dp[i][j]:从前i个物品中选择放入容量为j的背包中得到的最大价值
    // 注意这种定义，第i件物品的重量为weight[i-1],价值为value[i-1]
    // dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weight[i-1]] + value[i-1])
    // 初始化
    // 当j=0时，背包容量为0，最大价值为0；当i=0时，也就是前0件物品，也就是没有物品，最大价值也是0
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            if (j - weight[i-1] < 0) // 如果当前背包容量放不下第i件物品，那么前i件物品放入背包得到的最大价值就是前i-1件物品放入获得的最大价值
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
            else { // 如果能放下，从放和不放两种选择里取最大值，这里要注意，其实完全背包二维数组的代码跟一维只有下面一个下标不同，那就是“放i”这个选择，因为是可以重复放的，所以是dp[i]
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-weight[i-1]] + value[i-1]);
            }
        }
    }
    return dp[n][m];
}

完全背包和 0-1 背包二维dp数组的代码只有一个下标不同

两个 for 循环的遍历顺序是可以颠倒的，这跟递归的本质和递推的方向有关系。dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i-1]] + value[i-1])；递归公式中可以看出 dp[i][j] 是靠dp[i-1][j]和 dp[i][j - weight[i-1]] 推导出来的，他们俩都在dp[i][j]的左上角方向（包括正左和正上两个方向），分析先遍历物品和先遍历背包的过程，在计算dp[i][j]之前都已经得到了，不影响公式的推导

完全背包和 0-1 背包在能够放下物品 i 时的状态转移公式存在区别

// 0-1 背包
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i - 1][j-weight[i-1]] + value[i-1]);

// 完全背包
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-weight[i-1]] + value[i-1]);

完全背包由于物品可以重复选取，因此是 dp[i][j-weight[i-1]]

一维数组实现

首先回顾0-1背包的核心代码：

for (int i = 0; i < weight.size(); i++) {
    for (int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) {
        dp[j] = max(dp[j], dp[j-weight[i]] + value[i]);
    }
}

0-1背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次

而完全背包的物品是可以添加多次的，因此要从小到大遍历，即：

// 先遍历物品，再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = weight[i]; j < bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

    }
}

或者：

// 先遍历背包，再遍历物品
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    }
}