线性规划的对偶问题（The Dual of LP）

对偶理论是线性规划中最重要的理论之一，是深入了解线性规划问题结构的重要理论基础。同时，由于问题提出本身所具有的经济意义，使得它成为对线性规划问题系统进行经济分析和敏感性分析的重要工具。那么，对偶问题是怎样提出的，为什么会产生这样一种问题呢？

一、引例

**引例：**两个家具制造商间的对话如下：

王老板生产桌子和椅子两种产品，桌子的单价是50元，生产一张桌子需要4个木工工时，2个油漆工工时，椅子的单价为30元，生产一把椅子需要3个木工工时，1个油漆工工时，王老板总计有120个木工工时和50个油漆工工时。

此时，王老板考虑两个问题：第一个自己用木工和油漆工最多能赚多少钱，第二个把木工和油漆工出租出去不能低于自己赚的钱（不吃亏原则），并且出租的价格要尽可能低，使得李老板可以接受（竞争性原则）

家具生产模型称为原始线性规划问题，也称为原问题，记为（P，Primal）。该模型解决的问题是，如何利用有限的资源最大化生产收益。

资源出租模型称为对偶线性规划问题，也称为对偶问题，记为（D，Dual）。该模型解决的问题是，如何进行资源最小化定价（竞争性原则），使得资源售卖的收益不低于自己生产所获的最大生产收益（不吃亏原则）。y为对偶变量，也称为影子价格。

这里我们仔细观察一下资源出租模型，第一条约束是讲售卖4单位木工工时和2单位油漆工时的收益要大于50，50刚好是生产一张桌子的收益，生产一张桌子正好是需要4单位木工工时和2单位油漆工工时。第一条约束就是说，生产1个桌子所需的资源的售卖收益，要大于生产1个桌子的销售收益。第二条约束，生产1个椅子所需的资源售卖收益，要大于生产1个椅子的销售收益，约束条件的目标就是要求不吃亏。目标函数是希望资源出售的总价最低，目标就是满足市场竞争性原则。

那么王老板按照资源出租模型（对偶规划问题），求解就可以获得其出租木工、油漆工资源的价格，这样既能保证不吃亏（出租资源的租金收入并不低于自己生产时的销售收入），又是的出租价格对李老板有极大的吸引力（李老板所付出的总租金W最少）。本质上，是一种“共赢”。