七大排序之快速排序

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前言

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一、《算法导论》中的分区思想

快速排序又是一种分而治之思想在排序算法上的典型应用。本质上来看，快速排序应该算是在冒泡排序基础上的递归分治法。

动图如下：

1.1 算法思想

快速排序是20世纪最伟大的算法之一

核心的思路就是分区

分区值：默认选择最左侧元素pivot（当然也可以随机选择）

1. 从无序区间选择一个值作为分界点pivot开始扫描原集合
2. 将数组中所有小于该pivot的元素放在分界点左侧
3. 大于等于该元素的值放在分区点的右侧
4. 经过本轮交换，pivot放在了最终位置，pivot的左侧都是小于该值的元素，pivot的右侧都是大于该值的元素，在这两个子区间重复上述过程，直到整个集合有序。

举个栗子：

1.若arr[i] >= v

2.若arr[i] < v

索引 j 指向了最后一个 < v 的元素，而 j+1 恰好是第一个 >= v的元素

3.当 i 扫描完集合时，数组划分如下：

4.交换 l 和 j 所在的元素

5.橙色和紫色的部分继续重复上述过程即可

1.2 代码实现

代码如下：（请往后看）

    private static void quickSortInternal(int[] arr, int l, int r) {
        // 2.小区间上使用插入排序来优化，不用递归到底
        if (r - l <= 15) {
            insertionSort(arr,l,r);
            return;
        }
        int p = partition(arr,l,r);
        // 继续在左右两个子区间进行快速排序
        // 所有 < v的元素
        quickSortInternal(arr,l,p - 1);
        // 所有 >= v的元素
        quickSortInternal(arr,p + 1,r);
    }

    private static int partition(int[] arr, int l, int r) {
        // 1.优化1.使用一个随机位置作为分区点，避免快排在近乎有序数组上的性能退化
        int randomIndex = random.nextInt(l,r);
        swap(arr,l,randomIndex);
        int v = arr[l];
        // arr[l + 1..j] < v
        // 最开始区间没有元素
        int j = l;
        // arr[j + 1..i) >= v
        // 最开始大于区间也没有元素
        for (int i = l + 1; i <= r; i++) {
            if (arr[i] < v) {
                swap(arr,i,j + 1);
                j ++;
            }
        }
        // 此时元素j就是最后一个 < v的元素，就把v换到j的位置
        swap(arr,l,j);
        return j;
    }

注意：这是优化后的代码

小数组采用插入排序可以提高性能，若不能理解可以把这段改成：

 if (r - l <= 0) return;  

非递归写法：

    public static void quickSortNonRecursion(int[] arr) {
        Deque<Integer> stack = new ArrayDeque<>();
        // r
        stack.push(arr.length - 1);
        // l
        stack.push(0);
        // 每次从栈中取出两个元素，这辆个元素就是待排序区间的l..r
        while (!stack.isEmpty()) {
            int l = stack.pop();
            int r = stack.pop();
            if (l >= r) {
                // 当前子数组已经处理完毕
                continue;
            }
            int p = partition(arr,l,r);
            // 继续入栈两个子区间
            stack.push(p - 1);
            stack.push(l);

            stack.push(r);
            stack.push(p + 1);
        }
    }

    private static int partition(int[] arr, int l, int r) {
        // 1.优化1.使用一个随机位置作为分区点，避免快排在近乎有序数组上的性能退化
        int randomIndex = random.nextInt(l,r);
        swap(arr,l,randomIndex);
        int v = arr[l];
        // arr[l + 1..j] < v
        // 最开始区间没有元素
        int j = l;
        // arr[j + 1..i) >= v
        // 最开始大于区间也没有元素
        for (int i = l + 1; i <= r; i++) {
            if (arr[i] < v) {
                swap(arr,i,j + 1);
                j ++;
            }
        }
        // 此时元素j就是最后一个 < v的元素，就把v换到j的位置
        swap(arr,l,j);
        return j;
    }

二、Hoare挖坑法

目前市面上和教科书上的常用分区方法。

2.1 算法思想

1. 先从序列中随机选一个pivot，默认从最左边元素

2. 将两个索引 i 和 j 分别从左右两边开始往中间遍历

3. 先让 j 从后往前找到第一个 < v 的元素停止，把这个元素直接赋值给i所对应得元素。

4. 再让 i 从前往后找到第一个 > v 的元素停止

5. 当 i 和 j 重合时，arr[i] = pivot 即可~

没有元素交换的时候都是直接赋值，理论上会减少因为交换带来的时间损耗

2.2 代码实现

代码如下：

    private static void quickSortInternalHoare(int[] arr, int l, int r) {
        // 2.小区间上使用插入排序来优化，不用递归到底
        if (r - l <= 15) {
            insertionSort(arr,l,r);
            return;
        }
        int p = partitionHoare(arr,l,r);
        // 继续在左右两个子区间进行快速排序
        // 所有 < v的元素
        quickSortInternalHoare(arr,l,p - 1);
        // 所有 >= v的元素
        quickSortInternalHoare(arr,p + 1,r);
    }

    /**
     * 挖坑分区法
     * @param arr
     * @param l
     * @param r
     * @return
     */
    private static int partitionHoare(int[] arr, int l, int r) {
        int randomIndex = random.nextInt(l,r);
        swap(arr,l,randomIndex);
        int pivot = arr[l];
        int i = l;
        int j = r;
        while (i < j) {
            // 先让j从后向前扫描到第一个 < v的元素停止
            while (i < j && arr[j] >= pivot) {
                j --;
            }
            arr[i] = arr[j];
            // 再让i从前向后扫描到第一个 > v的元素停止
            while (i < j && arr[i] <= pivot) {
                i ++;
            }
            arr[j] = arr[i];
        }
        arr[i] = pivot;
        return i;
    }

三、算法分析

快速排序通常明显比其他 Ο(nlogn) 算法更快，因为它的内部循环（inner loop）可以在大部分的架构上很有效率地被实现来。

时间复杂度： O（nlogn）

• n：每次分区函数的数组扫描
• logn：递归次数，”递归树“的高度

空间复杂度：递归调用次数 O（logn）

如图所示：递归调用次数平均情况下就是一个二叉树的高度logn

数组扫描O（n）

所以时间复杂度是O（nlogn），空间复杂度是O（logn）

四、注意事项

归并排序无论数据长啥样子，都是无脑的一分为二，保证递归次数一定是logn级别，非常稳定的nlogn的算法。

而快速排序的性能严格受制于初始数据的情况而定。

近乎有序的数组上，快速排序的性能退化非常的快。

关于分区点的选择问题：

极端情况下，数组就是一个完全有序的数组

此时当数组近乎有序时，按照最左侧元素进行分区的时候，造成左右两颗递归树严重不平衡，甚至极端情况下退化为链表

空间：O（$logn$） -> O($n$)

时间： $nlogn$ => $n^2$

分区值的选择不能武断的就选择最左侧或者最右侧

a. 三数取中 =》 最左侧，最右侧，中间值 =》 选择其中之一

b. 每次递归时选择数组中任意一个元素作为分区点

优化：

关于分区点的选择。使用随机数随机取一个数组索引的元素作为分区点，基本上不可能出现单支树的情况，避免近乎有序数组上快排退化问题。

总结

以上就是快速排序的图解和代码，有什么疑问可以私信博主~有帮助的话可以关注博主后续更新。