1. 复积分的概念

1.1. 复积分的定义

定义：

如图，C为平面上一条光滑的简单曲线:$$z=z(t)=x(t)+iy(t)(\alpha ⩽t⩽\beta )$$其起点为 $A：a=z(\alpha )$，终点为 $B：b=z(\beta )$。复函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在 C 上有定义。现沿曲线从 $A\to B$ 依次取分点：
$$a=z_0,z_1,z_2,\cdots ,z_k,\cdots ,z_n=b$$将曲线分为若干段，从弧段 $\stackrel{⌢}{z_{k-1}{z}_k}$ 中任取一点 ${\zeta }_k={\xi }_k+i{\eta }_k$，作和式：
$$S_n=\sum _{k=1}^{n}f({\zeta }_k)(z_k-z_{k-1})=\sum _{k=1}^{n}f({\zeta }_k)\Delta z_k=\sum _{k=1}^{n}f({\zeta }_k)(\Delta x_k+i\Delta y_k)$$设 $$\lambda =\underset{1⩽k⩽n}{\max }|\Delta z_k|$$
若 $\lambda \to 0$ 时，$S_n$ 的极限存在，且不依赖于对曲线 C 的分法和对 ${\zeta }_k$ 的选取方式。则称该极限值为 $f(z)$ 沿曲线 C 从 A 到 B 的复积分，记作
$${\int }_{C}f(z)dz=\underset{\lambda \to 0}{\lim }{S}_n=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f({\zeta }_k)\Delta z_k$$特别地，沿 C 负方向（由B至A）的积分记作：
$${\int }_{C^{-}}f(z)dz$$当C为光滑闭曲线时（闭曲线的正向为逆时针方向），积分记作：
$${\oint }_{C}f(z)dz$$

1.2. 复积分的存在性与计算

定理：若函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ 在光滑曲线 C 上连续，则复积分 ${\int }_{C}f(z)dz$ 存在，且复积分可通过计算两个二元实变函数的第二型曲线积分来得到：
$${\int }_{C}f(z)dz=\left({\int }_{C}udx-vdy\right)+i\left({\int }_{C}udy+vdx\right)(1)$$
证明：$$\begin{array}{rl}{S}_n& =\sum _{k=1}^{n}f({\zeta }_k)\Delta z_k=\sum _{k=1}^n\left[u({\xi }_k,{\eta }_k)+iv({\xi }_k,{\eta }_k)\right](\Delta x_k+i\Delta y_k)\\ & \\ & =\sum _{k=1}^n\left(u_k\Delta x_k-v_k\Delta y_k\right)+i\sum _{k=1}^n\left(u_k\Delta y_k-v_k\Delta x_k\right)\\ & \\ & =S_n^R+i{S}_n^I\end{array}$$由于复变函数沿曲线 C 连续，故 $u,v$ 沿曲线 C 连续，那么和式 $S_n^R,S_n^I$ 的极限存在，且极限为相应的第二型曲线积分。故复积分也存在，并且满足定理中的计算公式。

Remark：

1）为方便记忆将复积分化作曲线积分的公式 (1) ,形式上可看作：
$${\int }_{C}f(z)dz={\int }_C(u+iv)(dx+idy)=\left({\int }_{C}udx-vdy\right)+i\left({\int }_{C}udy+vdx\right)$$

2）我们还可将复积分化作普通的定积分（复积分的变量代换公式）：
$$\begin{array}{rl}{\int }_{C}f(z)dz& =\left({\int }_{C}udx-vdy\right)+i\left({\int }_{C}udy+vdx\right)\\ & \\ & ={\int }_{\alpha }^{\beta }\left[u{x}^{\prime }(t)-v{y}^{\prime }(t)\right]dt+i{\int }_{\alpha }^{\beta }\left[u{y}^{\prime }(t)+v{x}^{\prime }(t)\right]dt\\ & \\ & ={\int }_{\alpha }^{\beta }(u+iv)(x^{\prime }+i{y}^{\prime })dt\\ & \\ & ={\int }_{\alpha }^{\beta }f(z(t))z^{\prime }(t)dt\\ & \\ & ={\int }_{\alpha }^{\beta }Re[f(z)z^{\prime }(t)]dt+i{\int }_{\alpha }^{\beta }Im[f(z)z^{\prime }(t)]dt(2)\end{array}$$

1.3. 一个圆周上的重要积分公式

设光滑曲线 C 为以 $z_0$ 为中心，$r$ 为半径的圆周，且 $n\in \mathbb{Z}$，则有：
$${\oint }_c\frac{dz}{(z-z_0{)}^n}=\{\begin{array}{ll}2\pi i& (n=1)\\ & \\ 0& (n\ne 1)\end{array}$$

证明：曲线C的参数方程为：
$$z(t)=z_0+r{e}^{i\theta }=[Re(z_0)+rcos\theta ]+i[Im(z_0)+rsin\theta ],\theta \in (-\pi ,\pi ]$$则
$$z^{\prime }(t)=-rsin\theta +ircos\theta =ir(cos\theta +isin\theta )=ir{e}^{i\theta }$$故
$$\begin{array}{rl}{\oint }_c\frac{dz}{(z-z_0{)}^n}& ={\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{ir{e}^{i\theta }}{r^n{e}^{in\theta }}d\theta \\ & \\ & =\frac{i}{r^{n-1}}{\int }_{-\pi }^{\pi }{e}^{-i(n-1)\theta }d\theta \\ & \\ & =\frac{i}{r^{n-1}}{\int }_{-\pi }^{\pi }cos[(n-1)\theta ]d\theta +\frac{1}{r^{n-1}}{\int }_{-\pi }^{\pi }sin[(n-1)\theta ]d\theta \\ & \\ & =\{\begin{array}{ll}2\pi i& (n=1)\\ & \\ 0& (n\ne 1)\end{array}\end{array}$$(证毕.)

1.4. 复积分的基本性质

设 $f(z),g(z)$ 沿光滑曲线 C 连续（确保相应复积分存在），则根据复积分的定义不难得到：

1）$${\int }_{c}kf(z)dz=k{\int }_{c}f(z)dz,(k\in \mathbb{C})$$ 2）$${\int }_c[f(z)\pm g(z)]dz={\int }_{c}f(z)dz\pm {\int }_{c}g(z)dz$$3）$${\int }_{c}f(z)dz={\int }_{c_1}f(z)dz+{\int }_{c_2}f(z)dz,(C=C_1\cup C_2)$$4）$${\int }_{c}f(z)dz=-{\int }_{c^{-}}f(z)dz$$此外，关于复函数的积分也有类似的不等式：

5）$$\left|{\int }_{c}f(z)dz\right|⩽{\int }_c|f(z)|ds={\int }_c|f(z)||dz|$$其中，不等式右端是实连续函数 $|f(z)|$ 沿曲线 C 的第一型曲线积分。

证明：由于复数的模满足三角不等式，故
$$\left|\sum _{k=1}^{n}f({\zeta }_k)\Delta z_k\right|⩽\sum _{k=1}^n|f({\zeta }_k)||\Delta z_k|⩽\sum _{k=1}^n|f({\zeta }_k)|\Delta s_k$$
其中，$\Delta s_k$ 为微弧段 $\stackrel{⌢}{z_{k-1}{z}_k}$ 的弧长，故满足
$$|\Delta z_k|=\sqrt{(\Delta x_k{)}^2+(\Delta y_k{)}^2}⩽\Delta s_k$$对不等式两侧取极限，即可得不等号成立，又$$|dz|=\sqrt{(dx{)}^2+(dy{)}^2}=ds$$故等号也可得证。（证毕）

推论：（积分估值定理） 若在 C 上有 $|f(z)|⩽M$，而 C 的长度为 $L$，那么有：
$$\left|{\int }_{c}f(z)dz\right|⩽{\int }_c|f(z)|ds⩽{\int }_{c}Mds=M{\int }_{c}ds=ML$$