【基础算法】回溯算法相关题目

news2024/12/30 4:36:12

系列综述：
💞目的：本系列是个人整理为了秋招算法的，整理期间苛求每个知识点，平衡理解简易度与深入程度。
🥰来源：材料主要源于代码随想录进行的，每个算法代码参考leetcode高赞回答和其他平台热门博客，其中也可能含有一些的个人思考。
🤭结语：如果有帮到你的地方，就点个赞和关注一下呗，谢谢🎈🎄🌷！！！
🌈数据结构基础知识总结篇

文章目录

    • 一、回溯算法理论基础
      • 定义
    • 二、回溯算法基本题目
      • 77. 组合
      • 39. 组合总和
    • [39. 组合总和](https://leetcode.cn/problems/combination-sum/description/)
      • 40.组合总和II
      • 131. 分割回文串
      • 93. 复原 IP 地址
      • 1005. K 次取反后最大化的数组和
      • 135. 分发糖果
      • 406. 根据身高重建队列
      • 452. 用最少数量的箭引爆气球
      • 763. 划分字母区间
      • 435. 无重叠区间
      • 56. 合并区间
      • 738. 单调递增的数字
    • 参考博客

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一、回溯算法理论基础

定义

  1. 回溯算法 = 穷举 + 剪枝
  2. 回溯算法解决的问题一般为npc问题，难以使用常规算法进行解决
    • 组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
    • 切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
    • 子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
    • 排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
    • 棋盘问题：N皇后，解数独等等
  3. 组合是不强调元素顺序的，排列是强调元素顺序。
  4. 所有的回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构
  5. 回溯基本结构
    • 根节点是总数据集合，树枝节点是可选数据集合
    • 叶子节点为根节点到叶子节点的路径的选择集合
      在这里插入图片描述
    // 合法性判断
bool isValid(const type &data){
	// type中数据项的合法性判断
}

// 回溯函数
vector<vector<type> res;
vector<type> path;
void backtracking(vecotr<type> candidates, int startIndex) {
	// 路径值判断
    if (符合条件isValid) {
        存放结果;
        return;
    }
	// 延申和回撤路径时，可能涉及多个状态标记变量的改动
    for (int i = startIndex; i < candidates.size(); ++i) {
    	剪枝判断;
    	// 状态延申改动
        path.push_back(candidates[i]);// 向下延申
        backtracking(路径，选择列表); // 回溯
        // 状态回撤改动
        path.pop_back();// 回撤延申
    }
}
// 主函数
vector<vector<int>> combine(vector<type>& candidates) {
    res.clear(); // 可以不写
    path.clear();// 可以不写
    backtracking(candidates, 0);
    return result;
}

二、回溯算法基本题目

77. 组合

  1. 77. 组合
    • 组合中的元素不能重复
    // 函数式编程？
vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
vector<int> path; // 用来存放符合条件结果
void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
    // 递归结束条件：组合树的叶子节点的条件
    if (path.size() == k) {
        result.push_back(path);
        return;
    }
    // 回溯的递归：
    for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
        path.push_back(i); // 处理节点 
        backtracking(n, k, i + 1); // 递归
        path.pop_back(); // 回溯，撤销处理的节点
    }
}
vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
    result.clear(); // 可以不写
    path.clear();   // 可以不写
    backtracking(n, k, 1);
    return result;
}

39. 组合总和

  1. 39. 组合总和

    vector<vector<int>> res;
vector<int> path;
void backtracking(vector<int> &candidates, int startIndex, int target, int sum){
	// 结束条件
    if (sum > target) {
        return ;
    }
    if (sum == target) {
        res.push_back(path);
        return ;
    }
	// 路径回溯
    for (int i = startIndex; i < candidates.size(); ++i) {
        sum += candidates[i];// 路径值累加
        path.push_back(candidates[i]);// 路径延申
        backtracking(candidates, i, target, sum);
        sum -= candidates[i];
        path.pop_back();
    }
    
}

vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {
    res.clear();
    path.clear();
    backtracking(candidates, 0, target, 0);
    return res;
}

40.组合总和II

  1. 40.组合总和II
    • 集合（数组candidates）有重复元素，但还不能有重复的组合。
    • 同一个层不可重复选取两个相同的元素
    // 结果容器
vector<vector<int>> result;
vector<int> path;
// 回溯函数
void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, 
	int startIndex, vector<bool>& used) {
	// 
    if (sum == target) {
        result.push_back(path);
        return;
    }
    for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) {
        
        // used[i - 1] == true，说明同一树枝candidates[i - 1]使用过
        // used[i - 1] == false，说明同一树层candidates[i - 1]使用过
        // 要对同一树层使用过的元素进行跳过
        if (i > 0 && candidates[i] == candidates[i - 1] && used[i - 1] == false) {
            continue;
        }
        // 延申路径：改变状态机中路径相关变量，sum、path、used
        sum += candidates[i];
        path.push_back(candidates[i]);
        used[i] = true;
        // 回溯函数
        backtracking(candidates, target, sum, i + 1, used); 
        // 回缩路径
        used[i] = false;
        sum -= candidates[i];
        path.pop_back();
    }
}

vector<vector<int>> combinationSum2(vector<int>& candidates, int target) {
    vector<bool> used(candidates.size(), false);
    path.clear();
    result.clear();
    // 首先把给candidates排序，让其相同的元素都挨在一起。
    sort(candidates.begin(), candidates.end());
    backtracking(candidates, target, 0, 0, used);
    return result;
}

131. 分割回文串

  1. 131. 分割回文串
    • 获取[startIndex,i]在s中的子串s.substr(startIndex, i - startIndex + 1)
    // 判断是否为回文字符串
bool isPalindrome(const string& s, int start, int end) {
    for (int i = start, j = end; i < j; i++, j--) {
        if (s[i] != s[j]) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}
// 基本的回溯
vector<vector<string>> result;
vector<string> path; // 放已经回文的子串
void backtracking (const string& s, int startIndex) {
    // 如果起始位置已经大于s的大小，说明已经找到了一组分割方案了
    if (startIndex >= s.size()) {
        result.push_back(path);
        return;
    }
    for (int i = startIndex; i < s.size(); i++) {
    	// 剪枝与枝的延长
        if (isPalindrome(s, startIndex, i)) {   // 是回文子串
            // 获取[startIndex,i]在s中的子串
            string str = s.substr(startIndex, i - startIndex + 1);
            path.push_back(str);
        } else {  // 不是回文，跳过
            continue;
        }
        backtracking(s, i + 1); // 寻找i+1为起始位置的子串
        path.pop_back(); // 回溯过程，弹出本次已经填在的子串
    }
}


vector<vector<string>> partition(string s) {
    result.clear();
    path.clear();
    backtracking(s, 0);
    return result;
}

93. 复原 IP 地址

  1. 93. 复原 IP 地址
    • str.insert(1,s);在原串下标为1的字符e前插入字符串s
    • str.erase(0);删除下标为0的字符
    vector<string> result;// 记录结果
// startIndex: 搜索的起始位置，pointNum:添加逗点的数量
void backtracking(string& s, int startIndex, int pointNum) {
    if (pointNum == 3) { // 逗点数量为3时，分隔结束
        // 判断第四段子字符串是否合法，如果合法就放进result中
        if (isValid(s, startIndex, s.size() - 1)) {
            result.push_back(s);
        }
        return;
    }
    
    for (int i = startIndex; i < s.size(); i++) {
        if (isValid(s, startIndex, i)) { // 判断 [startIndex,i] 这个区间的子串是否合法
            s.insert(s.begin() + i + 1 , '.');  // 在i的后面插入一个逗点
            pointNum++;
            backtracking(s, i + 2, pointNum);   // 插入逗点之后下一个子串的起始位置为i+2
            pointNum--;                         // 回溯
            s.erase(s.begin() + i + 1);         // 回溯删掉逗点
        } else break; // 不合法，直接结束本层循环
    }
}
// 判断字符串s在左闭又闭区间[start, end]所组成的数字是否合法
bool isValid(const string& s, int start, int end) {
    if (start > end) {
        return false;
    }
    if (s[start] == '0' && start != end) { // 0开头的数字不合法
            return false;
    }
    int num = 0;
    for (int i = start; i <= end; i++) {
        if (s[i] > '9' || s[i] < '0') { // 遇到非数字字符不合法
            return false;
        }
        num = num * 10 + (s[i] - '0');
        if (num > 255) { // 如果大于255了不合法
            return false;
        }
    }
    return true;
}

vector<string> restoreIpAddresses(string s) {
    result.clear();
    if (s.size() < 4 || s.size() > 12) return result; // 算是剪枝了
    backtracking(s, 0, 0);
    return result;
}

1005. K 次取反后最大化的数组和

  1. 1005. K 次取反后最大化的数组和
    • sort的使用：第三个参数为自定义的排序队则，在头文件#include
    • accumulate的使用：第三个参数为累加的初值，在头文件include
    static bool cmp(int a, int b) {
    return abs(a) > abs(b);// 绝对值的从大到小进行排序
}
int largestSumAfterKNegations(vector<int>& A, int K) {
	// 将容器内的元素按照绝对值从大到小进行排序
    sort(A.begin(), A.end(), cmp); 
    // 在K>0的情况下，将负值按照绝对值从大到小依次取反
    for (int i = 0; i < A.size(); i++) { 
        if (A[i] < 0 && K > 0) {
            A[i] *= -1;
            K--;
        }
    }
    // 如果K为奇数，将最小的正数取反
    if (K % 2 == 1) 
    	A[A.size() - 1] *= -1; 
   	// 求和
    return accumulate(A.begin(),A.end(),0);
    // 第三个参数为累加的初值，在头文件include<numeric>
}

135. 分发糖果

  1. 135. 分发糖果
    • 双向遍历进行贪心处理
    int candy(vector<int>& ratings) {
    vector<int> candyVec(ratings.size(), 1);
    // 从前向后
    for (int i = 1; i < ratings.size(); i++) {
        if (ratings[i] > ratings[i - 1]) 
            candyVec[i] = candyVec[i - 1] + 1;
    }
    // 从后向前
    for (int i = ratings.size() - 2; i >= 0; i--) {
        if (ratings[i] > ratings[i + 1] ) {
            candyVec[i] = max(candyVec[i], candyVec[i + 1] + 1);
        }
    }
    // 统计结果
    int result = 0;
    for (int i = 0; i < candyVec.size(); i++) result += candyVec[i];
    return result;
}

406. 根据身高重建队列

  1. 406. 根据身高重建队列
    • 两个维度遍历进行贪心处理
    • 常用插入操作使用list进行处理
    • 感觉可以局部最优推出整体最优，而且想不到反例。就可以使用贪心算法。
    // 身高从大到小排（身高相同k小的站前面）
static bool cmp(const vector<int>& a, const vector<int>& b) {
    if (a[0] == b[0]) // 相等的，数量小的在前
    	return a[1] < b[1];
    return a[0] > b[0];// 其他情况身高高的的在前
}
vector<vector<int>> reconstructQueue(vector<vector<int>>& people) {
    sort (people.begin(), people.end(), cmp);
    list<vector<int>> que; // list底层是链表实现，插入效率比vector高的多
    
    for (int i = 0; i < people.size(); i++) {// 按序插入
        int position = people[i][1]; // 插入到下标为position的位置
        std::list<vector<int>>::iterator it = que.begin();
        while (position--) { // 寻找在插入位置
            it++;
        }
        que.insert(it, people[i]);
    }
    return vector<vector<int>>(que.begin(), que.end());
}

452. 用最少数量的箭引爆气球

  1. 452. 用最少数量的箭引爆气球
    • 贪心算法通常先进行排序和最值处理
    // 基本比较函数的使用：1.const &形参 2. 形参为比较的两个数据元素 3. 返回值为两个形参的比较
static bool cmp (const vector<int>& a, const vector<int>& b){
    if(a[0] == b[0])
        return a[1] < b[1];
    return a[0] < b[0];
}
int findMinArrowShots(vector<vector<int>>& points) {
    if(points.size() == 0)
        return 0;
    int count = 1;// 至少射一支箭
    sort(points.begin(), points.end(), cmp);
    for(int i = 1; i < points.size(); ++i){
        if(points[i-1][1] < points[i][0]){
            count++;             
        }else{// 记录最小下限
            points[i][1] = min(points[i - 1][1], points[i][1]);
        }
    }
    return count;
}

763. 划分字母区间

  1. 763. 划分字母区间
    • 如果只有字母，可以使用数组进行哈希映射。 vector<int> alphabet = {27,0}
    vector<int> partitionLabels(string s) {
    // 统计每个字符的最远坐标
    unordered_map<char, int> umap;
    for(int i = 0; i < s.size(); ++i){
        umap[s[i]] = i;
    }
	// 初始化
    vector<int> res;
    int left = 0;
    int right = 0;
    // 迭代
    for(int i = 0; i < s.size(); ++i){
        right = max(right, umap[s[i]]); // 找到字符出现的最远边界
        if (i == right) {
            res.push_back(right - left + 1);// 结果记录
            left = i + 1;
        }
    }
    return res;
    
}

435. 无重叠区间

  1. 435. 无重叠区间
    • 能读就不写：求数量的尽量不要改变改变原来数组，减少写操作。
    static bool cmp (const vector<int>& a, const vector<int>& b) {
    return a[1] < b[1];
}
int eraseOverlapIntervals(vector<vector<int>>& intervals) {
    if (intervals.size() == 0) return 0;
    sort(intervals.begin(), intervals.end(), cmp);
    int count = 1; // 记录非交叉区间的个数
    int end = intervals[0][1]; // 记录区间分割点
    for (int i = 1; i < intervals.size(); i++) {
        if (end <= intervals[i][0]) {// 记录最小的右边界
            end = intervals[i][1];
            count++;
        }
    }
    return intervals.size() - count;
}

56. 合并区间

  1. 56. 合并区间
    • 排序参数lambda表达式的使用
    • 遍历的容器尽量不用动，使用新的结果容器进行处理
    vector<vector<int>> merge(vector<vector<int>>& intervals) {
	// 健壮性检查
	if (intervals.size() == 0) 
		return result; // 区间集合为空直接返回
    vector<vector<int>> result;
    // 排序的参数使用了lambda表达式
    sort(intervals.begin(), intervals.end(), 
    	[](const vector<int>& a, const vector<int>& b){
    		return a[0] < b[0];
    	}
    );
    // 第一个区间就可以放进结果集里，后面如果重叠，在result上直接合并
    result.push_back(intervals[0]); 
	// 合并区间，只更新右边界就好，
	// 因为result.back()的左边界一定是最小值，因为我们按照左边界排序的
    for (int i = 1; i < intervals.size(); i++) {
        if (result.back()[1] >= intervals[i][0]) { // 发现重叠区间
            result.back()[1] = max(result.back()[1], intervals[i][1]); 
        } else {
            result.push_back(intervals[i]); // 区间不重叠 
        }
    }
    return result;
}

738. 单调递增的数字

  1. 738. 单调递增的数字
    • 数字转换成字符串处理
    int monotoneIncreasingDigits(int N) {
    string strNum = to_string(N);
    // flag用来标记赋值9从哪里开始
    // 设置为这个默认值，为了防止第二个for循环在flag没有被赋值的情况下执行
    int flag = strNum.size();
    for (int i = strNum.size() - 1; i > 0; i--) {
        if (strNum[i - 1] > strNum[i] ) {
            flag = i;
            strNum[i - 1]--;
        }
    }
    for (int i = flag; i < strNum.size(); i++) {
        strNum[i] = '9';
    }
    return stoi(strNum);
}
少年，我观你骨骼清奇，颖悟绝伦，必成人中龙凤。
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参考博客

  1. 代码随想录
  2. letcode

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点击上方“Python爬虫与数据挖掘”&#xff0c;进行关注 回复“书籍”即可获赠Python从入门到进阶共10本电子书 今 日 鸡 汤 去来江口守空船&#xff0c;绕船月明江水寒。 大家好&#xff0c;我是皮皮。 一、前言 前几天在Python白银群【厚德载物】问了一个Python网络爬虫的问题…
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新手入门深度学习 | 3-2：激活函数activation

新手入门深度学习 | 3-2：激活函数activation

一、什么是激活函数 生物神经网络启发了人工神经网络（ANN）的发展。但是，人工神经网络并非大脑运作的近似表示。不过在我们了解为什么在人工神经网络中使用激活函数之前，先了解生物神经网络与激活函数的相关性是很有用处的。 典型神经元的物理结构包括细胞体（cell body）、…
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软件的兼容性测试确保良好稳定运行的用户体验

软件的兼容性测试确保良好稳定运行的用户体验

在数字化时代&#xff0c;各种软件应用的开发和推广越来越普遍。然而&#xff0c;由于不同的操作系统、不同的设备配置和不同的软件版本&#xff0c;软件的兼容性成为了一个重要的问题&#xff0c;可以说软件的兼容性测试确保良好稳定运行的用户体验。 首先&#xff0c;软件的兼…
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C# PaddleDetection 证件分类 驾驶证、行驶证、身份证分类

C# PaddleDetection 证件分类 驾驶证、行驶证、身份证分类

VS2022.net4.8OpenCvSharp4Sdcb.PaddleDetection 效果
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MySQL Optimization Learning(三)

MySQL Optimization Learning(三)

一、通过索引进行优化 数据结构 Data Structure Visualizations 数据可视化效果展示 Binary Search Tree 插入数据可视化效果展示 AVL Tree Red/Black Tree --MYISAM存储引擎数据和引用分开存储 DROP TABLE IF EXISTS t_test; CREATE TABLE t_test (id int(11) NOT NULL,…
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websocket 发送的消息超过默认限制就会自动断开连接

websocket 发送的消息超过默认限制就会自动断开连接

springboot集成websocket需要三步&#xff1a; 添加依赖 <dependency><groupId>org.springframework.boot</groupId><artifactId>spring-boot-starter-websocket</artifactId><version>2.1.6.RELEASE</version></dependency>…
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【GIT】Git常用命令学习

【GIT】Git常用命令学习

Git常用命令学习 说明&#xff1a;<>表示占位符的说明&#xff0c;[]表示可选&#xff0c;/表示“或” 仓库操作 初始化创建一个本地仓库 git init克隆远程仓库至本地 git clone <远程仓库地址> [仓库名称] #可以加上自定义仓库名称配置仓库 git config user.name…
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Linux的动静态库

Linux的动静态库

动静态库 1. 见一见动静态库2. 动静态库概念2.1 为什么要有动静态库2.2 定义 3. 写一写——库的设计角度打包成静态库打包成动态库 4. 用一用——使用者角度4.1 直接使用头文件和源文件&#xff08;直接给源代码&#xff09;4.2 得到头文件和源文件进过处理后形成的二进制文件.…
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C++ - 20230703

C++ - 20230703

一. 思维导图 二.练习 全局变量&#xff0c;int monster 10000;定义英雄类hero&#xff0c;受保护的属性string name&#xff0c;int hp,int attck&#xff1b;公有的无参构造&#xff0c;有参构造&#xff0c;虚成员函数 void Atk(){blood-0;}&#xff0c;法师类继承自英雄类…
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SpringCloud：微服务技术

SpringCloud：微服务技术

一、认识微服务&#xff1a; 首先&#xff0c;微服务架构不等于SpringCloud&#xff0c;微服务架构是一种经过良好架构设计的分布式架构方案&#xff0c; &#xff0c;它将应用构建成一系列按业务领域划分模块的&#xff0c;小的自治服务&#xff0c;并解决服务拆分所产生的各种…
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css基础知识十五：如果要做优化，CSS提高性能的方法有哪些？

css基础知识十五：如果要做优化，CSS提高性能的方法有哪些？

一、前言 每一个网页都离不开css&#xff0c;但是很多人又认为&#xff0c;css主要是用来完成页面布局的&#xff0c;像一些细节或者优化&#xff0c;就不需要怎么考虑&#xff0c;实际上这种想法是不正确的 作为页面渲染和内容展现的重要环节&#xff0c;css影响着用户对整个…
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DL环境安装之GCC9,Python9与IDE连接远程环境：python notebook，解释器，C toolchain

DL环境安装之GCC9,Python9与IDE连接远程环境：python notebook，解释器，C toolchain

文章目录 一.安装gcc91. 设置x86 centos7 yum源2. 编译安装 二、安装python3.91.前置依赖2. 编译安装3.建立软连接或环境变量 三、IDE连接远程环境1.IDE 远程notebook2.IDE 远程Python解释器3.远程toolchain &#xff08;后续可能有用&#xff09; 一.安装gcc9 系统自带的cc可…
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