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一，仿射集

1，仿射集(affine set)

2，仿射组合(affine combination)

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 3，仿射包(affine hull)

二，凸集

1，凸集

2，凸组合

3，凸包(convex hull)

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一，仿射集、仿射包

1，仿射集(affine set)

满足如下条件的集合叫仿射集：

直线是仿射集，线段不是

2，仿射组合(affine combination)

 3，仿射包(affine hull)

对任意集合 A，增加最少的元素使 A 变为仿射集 B ，则仿射集 B 是 A 的仿射包，即 B 是包含 A的最小仿射集。 

线段的仿射包是包含这条线段的直线，平面多边形（三角形，正方形等）的仿射包是包含此多边形的整个平面。

仿射集的仿射包是它自身。

二，凸集、凸包

1，凸集

 仿射集都是凸集，凸集不一定是仿射集，如线段、凸多边形。

2，凸组合

3，凸包(convex hull)

对任意集合 A，增加最少的元素使A 变为凸集B ，则凸集B 是 A 的凸包，即 B 是包含 A 的最小凸集。

凸集的凸包是其本身。

三，凸锥、锥包

1，凸锥(convex cone)

 

锥其实就是若干（有限或无限）条从原点出发的射线组成的。

设函数f是射线到角度的映射，角度范围是[0,2π)，那么：

一个锥是凸锥 等价于 这个锥作为定义域时f的值域是凸集（即凸的线段）

除了单射线和平面点全集之外，其他凸锥的边界就是2条射线，所构成的夹角一定在(0,π]区间内。

2，锥组合

3，锥包(cone hull)

 对任意集合 A，增加最少的元素使 A 变为凸锥 B ，则凸锥 B 是 A 的锥包，即 B 是包含 A 的最小凸锥。

四，凸函数

1，凸函数

一般有3种说法：

（1）f1是凸函数，f2是凹函数

（2）f1是凹函数，f2是凸函数

（3）f1是下凸函数，f2是上凸函数，都是凸函数

都是一样的意思，仅仅叫法不同而已，不用太在意。

用（1）说法来定义凸函数：

我个人喜欢用（3）说法，因为他不参与（1）和（2）的争斗。

上凸函数中，点集{y<f2(x)}是凸集，下凸函数中，点集{y>f1(x)}是凸集。

2，一阶条件

 

 

 3，二阶条件