一、线性回归算法简介

1.解决回归问题；
2.思想简单，实现容易；
3.是许多强大的非线性模型的基础；
4.结果具有很好的可解释性；
5.蕴含机器学习中的很多重要思想；
样本特征x只有一个称为简单的线性回归；

不用绝对值是因为其不能保证在之后的算法中处处可导；
因此我们选择了真值与预测值差之平方来表示偏差；
推出来这个式子之后我们的目标就是使其尽可能地小；
——典型的最小二乘法的问题

目标，其实就是找到一个模型最大程度拟合我们的数据，在线性回归算法中这个模型就是一个线性回归方程，在这里，
我们称右图目标函数为损失函数（loss function）也就是说度量出模型没有拟合样本的损失的那一部分
有的函数中度量的是拟合的那部分函数，称为效用函数（utility function）
不管是哪一种函数，我们的机器学习都是通过分析问题，确定问题的损失函数或者效用函数，通过最优化损失函数或者效用函数获得机器学习的模型；
近乎所有参数学习算法（线性回归，多项式回归，逻辑回归，svm，神经网络等）都是这样的思路；

具体怎么推此处省略

二、简单线性回归的实现

简单线性回归的实现：

三、向量化运算

（使用向量运算比使用for循环速度是更快的）结果基本大小一样

四、衡量线性回归法的指标，MSE,RMS,MAE

衡量线性回归法的指标之一，就是这么一个衡量标准，让误差和尽可能小，但是这里有一个问题就是m的大小会对衡量造成影响，
因此此处引入MSE均方误差（Mean Squared Error）、
RSE均方误差（Root Mean Squared Error）、
平均绝对误差MAE（Mean Absolute Error）

MSE均方误差（Mean Squared Error）

RSE均方误差（Root Mean Squared Error）

平均绝对误差MAE（Mean Absolute Error）

五、演示

六、评价回归算法R Square

**回忆：**在解决分类问题的时候，我们评价分类的准确度1代表最好0代表最差，取值在0-1之间；
但是问题来了，MSE RMSE MAE没有这样的性质，我们无法判断算法准确度的优劣，这就是以上三种方法的局限性；
解决方法：RSquared；
R^2后面部分的分子代表使用我们的模型预测产生的错误，分母代表y=y的均值，使其成为一个模型（最基本的模型Baseline Model）；
用1-后面式子相当于衡量了使用模型没有产生错误的相应的指标；
所以这个值越大越好，越接近1越好；

七、多元线性回归

一个样本有很多个特征值

目标

多元线性回归的正规方程解（Normal Equation）

问题：

虽然有一些加速方案，但是即使有一些加速方案的话，整体优化出来也是O(n^{2.4）基本上还是比O（n}2）要高；

优点：

不需要对数据做归一化处理

实现多元线性回归：

八、线性回归的可解释性和更多思考

评价线性回归算法：R Squared；

线性回归算法总结：

1、典型的参数学习，对比knn非参数学习；
2、只能解决回归问题，虽然很多分类方法中，线性回归是基础（如逻辑回归）对比knn：既可以解决分类问题又可以解决回归问题；
我们在学习线性回归的时候其实对数据有一个假设：线性；对比knn对数据没有假设（假设就是数据和最终输出之间有一定的线性关系，而且线性关系越强线性回归算法线性回归算法得到的结果也就越好）；
线性回归算法稍作改动就可以解决非线性问题，并且它的优点：对数据具有解释性；
当时间复杂度越高的时候，更好的解决方案：梯度下降方法；

Attribute Information (in order):
        - CRIM     per capita crime rate by town
        - ZN       proportion of residential land zoned for lots over 25,000 sq.ft.
        - INDUS    proportion of non-retail business acres per town
        - CHAS     Charles River dummy variable (= 1 if tract bounds river; 0 otherwise)
        - NOX      nitric oxides concentration (parts per 10 million)
        - RM       average number of rooms per dwelling
        - AGE      proportion of owner-occupied units built prior to 1940
        - DIS      weighted distances to five Boston employment centres
        - RAD      index of accessibility to radial highways
        - TAX      full-value property-tax rate per $10,000
        - PTRATIO  pupil-teacher ratio by town
        - B        1000(Bk - 0.63)^2 where Bk is the proportion of black people by town
        - LSTAT    % lower status of the population
        - MEDV     Median value of owner-occupied homes in $1000's