实验目的及要求：

1、会在Matlab平台上进行样条插值；

 2、会在Matlab平台上进行最小二乘拟合。

实验内容：

1、利用spline函数绘制【0，10】内步长为1的插值节点处的的样条曲线。

2、根据下列数据三转角方程法构造三次样条函数S(x),，并写出表达式。

    3、利用polyfit函数作三次，四次多项式拟合，并描绘拟合曲线。拟合数据如下：

实验步骤与程序：

1. spline函数的MATLAB主程序

x=0:10;

y=sin(x);

xx=0:0.25:10;

yy=spline(x,y,xx)

plot(x,y,'+',xx,yy)

hold on

x=0:10;

y=1./(1+25*x.^2);

xx=0:1:10;

yy=spline(x,y,xx);

plot(x,y,'*',xx,yy)

1. 三转角方程法构造三次样条函数

1. 算法分析

被调用的san_zhuan_jiao.m文件

function [a,c,b,A,dY,s1,sk,sn] = san_zhuan_jiao(x,y,x0,y0,dy0,dyn)

n = length(x);

A = zeros(n-1,n-1);

a = zeros(n-1,1);

b = zeros(n-1,1);

c = zeros(n-1,1);

h = zeros(n-1,1);

h0 = x(1) - x0 ;

for i = 1:n-1

    h(i) = x(i+1)-x(i);

end

a(1) = h0/(h0 + h(1));

c(1) = 1-a(1);

b(1) = 3*((c(1)*(y(1)-y0)/h0)+a(1)*(y(2)-y(1))/(h(1)));

for i = 2:n-1

    a(i) = h(i-1)/(h(i-1)+h(i))

    c(i) = i-a(i);

    b(i) = 3*(c(i)*(y(i)-y(i-1)/h(i-1))+a(i)*(y(i+1)-y(i))/h(i))

end

b(1) = b(1)-c(1)*dy0;

b(n-1) = b(n-1)-a(n-1)*dyn;

A(1,1) = 2;

A(1,2) = a(1);

for i = 2:n-2

    A(i,i) = 2;

    A(i,i+1) = a(i);

    A(i,i-1) = c(i);

end

A(n-1,n-1) = 2;

A(n-1,n-1) = c(n-1);

dY = A\b;

syms X

s1=y0*(h0-2*x0+2*X)*(X-x(1))^2/h0^3+y(1)* (h0+2*x(1)-2*X)*(X-x0)^2/h0^3+dy0*(X-x0)*(X-x(1))^2/h0^2+dY(1)*(X-x(1))*(X-x0)^2/h0^2;

for k=2:n-1

sk=y(k-1)*((h(k-1)-2*x(k-1)+2*X)*(X-x(k))^2)/(h(k-1)^3)+y(k)*((h(k-1)+2*x(k)-2*X)*(X-x(k-1))^2)/(h(k-1)^3)+dY(k-1)*((X-x(k-1))*(X-x(k))^2)/(h(k-1)^2)+dY(k)*((X-x(k))*(X-x(k-1))^2)/(h(k-1)^2);

end

sn=y(n-1)*(h(n-1)-2*x(n-1)+2*X)*(X-x(n))^2/h(n-1)^3+y(n)* (h(n-1)+2*x(n)-2*X)*(X-x(n-1))^2/h(n-1)^3+dY(n-1)*(X-x(n-1))*(X-x(n))^2/h(n-1)^2+dyn*(X-x(n))*(X-x(n-1))^2/h(n-1)^2;

1. 运行san_ci_yang_tiao.m文件：

x0=-1;y0=-1;x=[0 1 3];y=[1 3 5];

dy0=6;dyn=1;

[a,c,b,A,dY,s1,sk,sn]=san_zhuan_jiao(x,y,x0,y0,dy0,dyn)

1. ployfit函数的MATLAB主程序

x=0.1:0.1:0.9;

y=[5.1234 5.3067 5.5687 5.9375 6.4370 7.0978 7.9778 9.0253 10.3627];

a1=polyfit(x,y,3)

a2=polyfit(x,y,4)

x1=0.1:0.1:0.9;

y1=a1(4)+a1(3)*x1+a1(2)*x1.^2+a1(1)*x1.^3;

%(y1=polyval(a1,x1)

y2=a2(5)+a2(4)*x1+a2(3)*x1.^2+a2(2)*x1.^3+a2(1)*x1.^4;

%(y2=polyval(a2,x1)

plot(x,y,'*')

hold on

%三次多项式拟合

plot(x1,y1,'r-')

hold on

%四次多项式拟合

plot(x1,y2,'g^')

运行结果：

ployfit函数的运行结果

结果分析与讨论：

1.spline函数只能实现非节点边界和约束导数的第二边界条件，可以实现一维或者高维的曲线插值。

2.polyfit函数是matlab中用于进行曲线拟合的一个函数。其数学基础是最小二乘法曲线拟合原理。