【Matlab】数字图像的 SVD 分解

news2024/11/18 13:44:21

奇异值分解 (SVD, Singular Value Decomposition) 是线性代数中一种重要的矩阵变换方法，对矩阵进行 SVD 分解，可以把复杂的矩阵简化，从而提取出重要的信息。数字图像的 SVD 分解是对数字图像建模的一种方法与工具，可以应用于图像压缩与图像处理等场景。本文主要介绍矩阵 SVD 分解的基本原理，以及使用 Matlab 对图像进行 SVD 分解与重建的过程。

1. 矩阵的奇异值

2. 图像的 SVD 分解与重建

1. 矩阵的特征值与奇异值

对于 n 阶方阵 $A$ ，如果存在 $\lambda \in R$ 和非零列向量 $\beta = (\beta_{1}, \beta_{2}, \dots , \beta_{n})^{T}$ ，使

$A \beta = \lambda \beta$

成立，则称 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的一个特征值， $\beta$ 是矩阵 $A$ 对于特征值 $\lambda$ 的一个特征向量。

特征值的求解可以根据特征多项式 $det(A-\lambda E)$ 进行，进一步可以将矩阵 $A$ 对角化，即把矩阵 $A$ 改写成可逆矩阵 $P$ 和对角矩阵 $\Sigma$ 乘积的形式。

$A = P \Sigma P^{-1}$

其中对角矩阵 $\Sigma$ 对角线上的元素为 $A$ 的特征值。

然而对于 m x n 阶矩阵 (m ≠ n)，特征值计算的方法不再适用，这时可以计算矩阵的奇异值。对于 m x n 阶矩阵 $A$ ，总可以分解成

$A_{m \times n} = U_{m \times m} \Sigma_{m \times n} V_{n \times n}^{T}$

的形式，其中矩阵 $U$ 和 $V$ 是正交矩阵，对角矩阵 $\Sigma$ 对角线上的元素为 $A$ 的奇异值。

为了求出 $U$ 和 $V$ ，先构建方阵 $A^{T}A$ 和 $AA^{T}$ ，有

$A^{T}A=V \Sigma ^{T} U^{T} U \Sigma V^{T}$

$= V \Sigma ^{T} \Sigma V^{T}$

$= V \Sigma^{T} \Sigma V^{-1}$

$AA^{T} = U \Sigma V^{T} V \Sigma^{T} U^{T}$

$= U \Sigma \Sigma^{T} U^{T}$

$= U \Sigma \Sigma^{T} U^{-1}$

这表明 $\Sigma ^{T} \Sigma$ 是 $A^{T}A$ 的对角化矩阵， $\Sigma \Sigma ^{T}$ 是 $AA^{T}$ 的对角化矩阵。矩阵 $V$ 和 $U$ 分别是 $A^{T}A$ 和 $AA^{T}$ 的对角变换矩阵。

2. 图像的 SVD 分解与重建

在数字图像处理中，一幅大小为 M x N 的灰色图像可以表示成如下矩阵的形式，

$I(x,y) = \begin{bmatrix} f(0,0) & f(1,0) & \cdots & f(M-1,0) \\ f(0,1) & f(1,1) & \cdots & f(M-1,1))\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f(0,N-1) & f(1,N-1) & \cdots & f(M-1,N-1) \end{bmatrix}$

其中 $f(x,y)$ 是 xy 空间中的二维函数，其函数值表示图像在对应点的灰度。

对于彩色图像，可以将多个分量按照行或者列的方向进行拼接，例如 M x N x 3 的图像进行拼接得到一个 3M x N 的矩阵。了解了这一点，就可以对数字图像应用奇异值分解的方法。

Matlab 中关于 svd 奇异值分解函数的用法说明如下。

使用 Matlab 进行数字图像的 SVD 分解与重建的大致思路如下：

（1）读取想要处理的图像，转换数据类型为 double 类型；

（2）将图像的不同颜色分量按某个方向进行拼接，得到 img_merge；

（3）对 img_merge 进行 SVD 分解，求出 U，S 和 V 三个矩阵；

（4）选取想要保留的奇异值的个数 k，构建新的矩阵 U1，S1 和 V1；

（5）使用 U1，S1 和 V1 生成生成新的图像，并进行显示。

Matlab 代码和运行结果如下。

clear, clc

% 基于SVD的图像压缩
img = imread('./cat.png');
img = im2double(img);

% 图像颜色分量的拼接
[m,n,d] = size(img);
img_merge = [img(:,:,1); img(:,:,2); img(:,:,3)];

% 图像的svd分解
[U,S,V] = svd(img_merge, 'econ');

% 保留前k个奇异值，生成新的图像
s = diag(S);
i = 0;
figure(1)
for k = [10,30,70,100] % k分别取10,30,70和100
    U1 = U(:,1:k);
    S1 = diag(s(1:k));
    V1 = V(:,1:k);
    tmp = U1*S1*V1';
    img_new(:,:,1) = tmp(0*m+1:1*m,:);
    img_new(:,:,2) = tmp(1*m+1:2*m,:);
    img_new(:,:,3) = tmp(2*m+1:3*m,:);
    subplot(221+i)
    imshow(im2uint8(img_new)) % 显示图像
    title(['k=',num2str(k)])  % 添加标题
    hold on
    i = i + 1;
end