数学预备知识

1、最优化问题

最优化问题指的是在给定条件下，找到一个目标函数的最优解，即找到能够使目标函数取得最大值或最小值的变量取值。常用的优化方法包括线性规划、整数规划、动态规划、遗传算法、模拟退火等。最终，通过对最优解的检验和实施，可以实现资源的最优分配或其他最优解决方案。

最优化的基本数学模型：

$$minf(x)$$

$$s.t.h_i(x)=0,g_j(x)\le 0$$

• 设计变量：x 是一个实数域范围内的n维向量，被称为决策变量或问题的解；
• 目标函数： f(x) 为目标函数；
• 约束条件： $$h_i(x)=0,g_j(x)\le 0$$
• 数学公式中的s.t.是subject to的缩写，表示约束条件。

超平面和半空间

二维空间的超平面就是一条线（可以是曲线），三维空间下的超平面是一个面（可以是曲面）。

简单来说，超平面是具有一个变量的空间中的直线、平面等概念的推广。半空间是数学中的一个概念，通常指一个空间中，其中一个方向的值被限定为非负数。例如，在三维空间中，一个半空间可以表示为z≥0，其中z表示垂直于x-y平面的方向。数学表达式如下：

超平面： H = { x ∈ R n ∣ a 1 x 1 + a 2 x 2 + . . . + a n x n = b } H = \{x ∈R^n | a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=b\} H={x∈Rn∣a1​x1​+a2​x2​+...+an​xn​=b}

半空间： H + = { x ∈ R n ∣ a 1 x 1 + a 2 x 2 + . . . + a n x n ≥ b } H^+ = \{x ∈R^n | a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n≥b\} H+={x∈Rn∣a1​x1​+a2​x2​+...+an​xn​≥b}

凸集分离定理

凸集，凸函数，详见 数学预备知识 2.1梯度下降

凸集分离定理是凸集理论中最基本的定理之一，它表明两个不相交的凸集总可以用超平面分离。这个定理在凸优化理论中有重要的应用，因为它提供了将多变量问题转化为多个单变量问题的方法。

如何实现的多变量问题转换为多个单变量问题？

凸集分离定理可以将多变量问题转换为多个单变量问题。具体来说，如果需要将两个不相交的凸集C和D分离，可以通过以下步骤实现：

1. 找到一个超平面，使得它与C和D的交点分别为x和y，且x和y分别位于超平面的两侧。
2. 将超平面方程中的多个变量化为单个变量，例如将x1, x2, x3化为x1，将y1, y2, y3化为y1。
3. 将超平面方程表示为一个关于x1的单变量函数f(x1)，使得f(x1) = 0。
4. 对于每个变量xi，分别求解f(xi) = 0，得到一组单变量方程。
5. 对于每个单变量方程，求解其根xi，如果xi同时满足C和D的定义域，则将xi代入超平面方程中得到超平面方程中的常数项a。
6. 将超平面方程中的常数项a表示为多个变量的函数g(x1, x2, …, xn)，其中每个变量对应一个单变量方程。
7. 将超平面方程中的常数项a表示为多个变量的函数g(x1, x2, …, xn)后，可以将其代入原多变量问题中，得到一个新的多变量问题，这个问题的解即为原问题的解。

通过以上步骤，就可以将多变量问题转换为多个单变量问题。这种方法在凸优化理论中有重要的应用，因为它可以将多变量问题转化为多个单变量问题，从而简化问题的求解。

（暂不理解这个步骤2的替换如何实现的）

2、凸优化

2.1、梯度下降

传送门：ML算法—梯度下降随笔

2.2、牛顿法

求解无约束最优化问题，优点是收敛速度快。

牛顿法是一种迭代算法，用于求解方程式的根。其基本思想是利用函数的导数信息，不断迭代以逼近方程的根。

1）比梯度下降快的原因？

微分解释，牛顿法是二阶收敛，梯度下降是一阶收敛，牛顿法在选择方向时，不仅可以考虑坡度是否够大，还可以考虑走了一步后坡度是否会更大，因此能更快地走到最底部。

几何解释，牛顿法就是用一个二次曲面去拟合当前所处位置的局部曲面，梯度下降法使用一个平面去拟合当前的局部曲面。通常情况下，二次曲面的拟合效果会比平面更好。

2）牛顿法算法过程

牛顿法的推导过程基于以下公式：$$x_{k+1}=x_k-\alpha \cdot f^{\prime }(x_k)$$

其中 $$x_k$$是第 k 次迭代时 x 的值，α 是步长，$$f\prime (x_k)$$ 是函数 f(x) 在$$x_k$$ 处的导数值。

1. 初始化一个点 x0。
2. 求解函数 f(x) 在 $$x_k$$ 处的导数，$$f\prime (x_k)$$即切线斜率 m。【m 也可以用梯度表示，即 $ m =▽f(x_k)$】
3. 求解函数 f(x) 在 $$x_k$$ 处的二阶导数 ，$$f\prime (x_k)$$即切线曲率 n。
4. 将$$f^{\prime }(x_k)$$和 $$f^{\prime \prime }(x_k)$$代入牛顿迭代公式 中，$$x_{k+1}=x_k-\alpha \cdot m$$，其中 α 是步长。
5. 重复执行步骤 2-4，直到满足预设的阈值条件，如 $$\mid x_{k+1}-x_k\mid <ϵ$$，其中 ϵ 是预设的阈值。
6. 最终得到的解即为方程 f(x)=0 的根。

需要注意的是，牛顿法对于非线性方程的求解效果较好，但对于线性方程的求解则可能不收敛。必须保证 f(x) 二阶导连续，否则牛顿法可能无法收敛。

在推导过程的步骤4.中，谈到的牛顿迭代公式是如何代入得切线曲率?

使用牛顿-拉夫森方法（Newton-Raphson method）来求解 α，即：

$$\alpha =\frac{f^{\prime }(x_k)}{f^{\prime \prime }(x_k)}$$

将 α 代入牛顿迭代公式中，得到：

$$x_{k+1}=x_k-\frac{f^{\prime }(x_k)}{f^{\prime \prime }(x_k)}\cdot f^{\prime }(x_k)$$

2.3、阻尼牛顿法

1）较牛顿法的改进？

牛顿法迭代公式中没有步长因子，是定步长迭代。对于非二次型目标函数，不能保证函数值稳定的下降，有时会出现$$f(x_{k+1})>f(x_k)$$，走过头了，为消除定步长迭代的弊端，阻尼牛顿法每次迭代方向仍然是$$x_k$$，但每次迭代会沿此方向做一维搜索，寻找最优的步长因子 $${\lambda }_k$$，即：

$${\lambda }_k=minf(x_k+\lambda d_k)$$

2）阻尼牛顿法算法过程

1. 给定初值x0，精度阈值 ϵ ，令 k = 0；
2. $$计算x_k和H_k$$
3. 若 $||g_k||<ϵ$ 则停止迭代，否则确定搜索方向：$$d_k=-H_k^{-1}\cdot g_k$$
4. 计算新的迭代点 $$x_{k+1}=x_k+d_k$$
5. 令 k = k +1，重复执行步骤 2-5。

其中，$$H_k为海森矩阵（Hessen）$$，每个点处x=(x1,x2,x3,…,xn)，都要计算一次：

$$g_k为一阶导数$$

2.4、拟牛顿法

1）较牛顿法的改进？

牛顿法每一步都要求解目标函数的Hessen 矩阵的逆矩阵，计算量比较大，提出一种改进，**通过正定矩阵近似代替$$H_k^{-1}$$，**简化这一计算过程，改进后的方法称为拟牛顿法。

2）拟牛顿法算法过程

1. 将 f(x)在 $$x_{k+1}$$处展开，得到：

   $$f(x)=f(x_k+1)+f^{\prime }(x_{k+1})(x-x_{k+1})+\frac{1}{2}{f}^{\prime \prime }(x_{k+1})(x-x_{k+1}{)}^2$$

2. 两边同时取梯度，得：

   $$f^{\prime }(x)=f^{\prime }(x_{k+1})+f^{\prime \prime }(x_{k+1})(x_k-x_{k+1})$$

3. 令 $$x=x_k$$，得：

   $$f^{\prime }(x_k)=f^{\prime }(x_{k+1})+f^{\prime \prime }(x_{k+1})(x_k-x_{k+1})$$

   整理，得：

   $$f^{\prime }(x_{k+1})-f^{\prime }(x_k)=f^{\prime \prime }(x_{k+1})(x_{k+1}-x_k)$$

   即：

   $g_{k+1}-g_k=H_{k+1}(x_{k+1}-x_k)$

   可得：

   $ H_{k+1}^{-1}(g_{k+1} -g_k )=x_{k+1} - x_k$ 该式称为拟牛顿条件，对Hessen矩阵具有约束作用。

2.5、总结

重点是梯度下降法，利用一阶导数，而二阶导数涉及到海森矩阵，具有较大的计算量，因此，往往采用梯度下降算法。