问题描述

给定一个数组, 每次操作可以选择数组中任意两个相邻的元素 $x,y$ 并将其 中的一个元素替换为 $\gcd (x,y)$, 其中 $\gcd (x,y)$ 表示 $x$ 和 $y$ 的最大公约数。 请问最少需要多少次操作才能让整个数组只含 1 。

解题思路

关于$gcd$
如果一段子数组的的$gcd$为$1$,那么原数组的$gcd$也一定为$1$。
如果存在一个子数组的$gcd$为$1$，那么这个数组无论再加上任何正整数，$gcd$也永远是$1$，因为$1$和任何数的$gcd$都是$1$。

1、（简单）考虑数组中是否存在$1$，如果数组中存在$1$，依次把全部元素变成$1$，假设$1$的个数为$x$个，那么最终的答案是$n-x$次。
（复杂——原数组中不存在$1$）
2、变出一个$1$，然后使用这个$1$进行平推将数组全部变成$1$。
3、$[1,n]$的$gcd$都不为$1$，那么任何子数组的$gcd$也不可能为$1$，此时为无解。
问题——如何最少次数变出$1$
任务转换——原数组中找到最短的子数组，使得它们的$gcd$为1。

如果$[l,r]$的 $gcd$ 为$1$
1、那么$[l,r+1]...[l,n]$这些区间的$gcd$也一定为$1$，
2、而$[l,l+1]...[l,r-1]$这些区间却并不一定符合条件。
二分法。对于数组中的每个数我们固定为左端点$l$，然后去二分右端点，求出使得$区间[l,r]$的$gcd$为$1$的最小的右端点。这样每个数我们都定为左端点去二分它的右端点，所有答案取最小值就能找出$gcd$位$1$的最短区间。

注意：Python语言运行较慢，推荐写成st表，不推荐写线段树，线段树常数太大。
时间复杂度$O(nlogn)$。
ST算法是基于倍增思想设计的在线算法，记录从每个元素开始的连续长度为$2^k$的区间中元素的GCD。
预处理
类似于动态规划，规定$dp[i][j]$表示从第$i$ 个元素起连续$2^i$个数中的GCD，即记录中的最大公约数。
$dp[i][j]$代表的区间 $[i,i+2^j-1]$的最大公约数，而区间 $[i,i+2^j-1]$上包含偶数个数字，故把$[i,i+2^j-1]$平均分成两段，从$i$ 到$i+2^{j-1}-1$为一段,$i+2^{j-1}$到$i+2^j-1$为另一段，长度均为 $2^{j-1}$
$dp[i][j]=gcd(dp[i][j-1],dp[i+2^{j-1}][j-1])$

查询
1、不允许重叠，区间的长度按照二进制分成多个$2$的整数倍区间，这些区间是求多次最大公约数能得到答案。
2、允许区间重叠，所有的情况下最多只要两个区间要求区间 , $[l,r]$中的最大公约数，找到一个数$k$ 使得$2^k<r-l+1$，即 $k=\lfloor {\log }_2(r-l+1)\rfloor$
可以把这个区间分成两个部分：$[l,l+2^k-1]$和 $[r-2^k+1,r]$。
这两个区间恰好是刚刚已经初始化好的，前者对应的是$dp[l][k]$，后者对应的是$dp[r-2^k+1][k]$。

Ac_code

python

# -*- coding: utf-8 -*-
# @Author : BYW-yuwei
# @Software: python3.8.6
from math import gcd
import math

def rmq_init(arr):
    arr_len = len(arr)
    exp = int(math.log(arr_len, 2))
    dp = [[0] * (exp + 1) for _ in range(arr_len + 1)]
    for i, a in enumerate(arr):
        dp[i + 1][0] = a
    for j in range(1, exp + 1):
        for start in range(1, arr_len + 1):
            if start + (1 << j) - 1 > arr_len:
                break
            dp[start][j] = gcd(dp[start][j - 1], dp[start + (1 << (j - 1))][j - 1])
    return dp

def rmq_ask(dp, left, right):  
    k = int(math.log(right - left + 1, 2))
    return gcd(dp[left][k], dp[right + 1 - (1 << k)][k])

n = int(input())
a = list(map(int, input().split()))


cnt1 = sum(ai == 1 for ai in a)
if cnt1 > 0:
    print(n - cnt1)
else:
    dp = rmq_init(a)
    if rmq_ask(dp, 1, n) != 1:
        print(-1)
    else:
        ans = 10 ** 9
        for i in range(1, n):
            l, r = i, n
            while l < r:
                mid = (l + r) >> 1
                if rmq_ask(dp, i, mid) == 1:
                    r = mid
                else:
                    l = mid + 1
            if rmq_ask(dp, i, r) == 1:
                ans = min(ans, r-i)
        print(ans + n-1)