文章目录
- 62. 不同路径
- 题目解析
- 状态转移方程
- 完整代码
- 63. 不同路径 II
- 题目解析
- 状态转移方程
- 完整代码
- 剑指 Offer 47. 礼物的最大价值
- 题目解析
- 状态转移方程
- 完整代码
62. 不同路径
点击查看：不同路径
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？
示例 1：
输入：m = 3, n = 7
输出：28
示例 2：
输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
- 向右 -> 向下 -> 向下
- 向下 -> 向下 -> 向右
- 向下 -> 向右 -> 向下
题目解析
只能向下或者向右走，而且不能回退
所以从start到 finish ，共有三种情况
状态转移方程
dp [i,j ] : 表示走到[i, j ]位置时，共有多少条路径
根据最近的一步，划分问题
当处于 [i,j]位置时，可以从 [i-1,j] 位置 向下移动得到
从起点位置开始，移动到[i-1,j]位置上，然后再走一步到达[i,j]位置
从[i-1,j] 到[i,j]的总方法数 等于 从起点到 [i-1,j] 的总方法数 即 dp[i-1,j]
当处于 [i,j]位置时，可以从[i,j-1]位置向右移动得到
从起点位置开始，移动到[i,j-1]位置上，然后再走一步到达[i,j]位置
从[i,j-1] 到[i,j]的总方法数 等于 从起点到 [i,j-1] 的总方法数 即 dp[i,j-1]
状态转移方程为：
dp[i][j]= dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
完整代码
class Solution {
public:
int uniquePaths(int m, int n) {
// 将 m+1个vector数组 都初始化为 n+1
vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1));
int i=0;
int j=0;
//为了防止越界情况，所以扩列 一行和一列，并将其初始化
dp[0][1]=1;
for(i=1;i<=m;i++)
{
for(j=1;j<=n;j++)
{
dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
}
}
//由于dp是扩列数组，所以下标+1
return dp[m][n];
}
};
通过扩列的方式，进行初始化
多扩出一行和一列，相当于虚拟存在的
因为每个[i,j] 的路径总数 都是由 [i-1,j] 和[i,j-1] 位置 相加得来的
所以在 start 的上一个位置处 将其置为1，其他都置为0，
就可以满足原数组的第一行和第一列都为1
63. 不同路径 II
点击查看：不同路径||
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。
现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？
网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。
示例 1：
输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
输出：2
解释：3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：
- 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
- 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右
题目解析
与不同路径 1 的区别是 加入了 障碍物
因为中间有障碍物存在，所以只有两种通过方法
状态转移方程
dp[i][j] ：表示 从起点到达 [i,j]位置 共有多少 种 方法
若[i,j]位置作为障碍物，则方案作废，方案数为0
若[i,j]位置没有障碍物，可以从 [i-1,j] 位置 向下 达到 [i,j]位置 ，
从起点位置开始，移动到[i-1,j]位置上，然后再走一步到达[i,j]位置
从[i-1,j] 到[i,j]的总方法数 等于 从起点到 [i-1,j] 的总方法数 即 dp[i-1,j]
若[i,j]位置没有障碍物，也可以 从 [i,j-1] 位置 向右达到 [i,j] 位置
从起点位置开始，移动到[i,j-1]位置上，然后再走一步到达[i,j]位置
从[i,j-1] 到[i,j]的总方法数 等于 从起点到 [i,j-1] 的总方法数 即 dp[i,j-1]
状态转移方程为：
dp[i][j] =dp[i-1][j] +dp[i][j-1]; (若[i,j]位置 为 障碍物则为0)
完整代码
class Solution {
public:
int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& ob) {
int m=ob.size();//行
int n=ob[0].size();//列
//将m+1个vector数组 都初始化为n+1
vector<vector<int>> dp(m+1,vector<int>(n+1));
int i=0;
int j=0;
dp[1][0]=1;
for(i=1;i<=m;i++)
{
for(j=1;j<=n;j++)
{
//ob作为原数组，映射到扩列后的数组需要行-1 列-1
if(ob[i-1][j-1]==0)
{
//若[i,j]位置不是障碍物
dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];
}
}
}
return dp[m][n];
}
};
依旧需要创建一个扩列的数组，将起点上一个位置 置为1
使原数组第一行和第一列都为1
因为题中所给的ob数组存在障碍物，所以需要借助ob数组 判断 扩列数组的对应位置
若扩列数组位置为[i,j] ，则ob数组为[i-1,j-1] ，该位置若等于1，则为障碍物，其方案数为0
剑指 Offer 47. 礼物的最大价值
点击查看： 礼物的最大价值
在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？
示例 1:
输入:
[
[1,3,1],
[1,5,1],
[4,2,1]
]
输出: 12
解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物
题目解析
二维数组的每一个元素对应的数，都表示价值，数越大，价值越大
通过向下 或者 向右 寻找 一条 最大价值的 路径
从最上角的1开始，到最下角的1结束
状态转移方程
dp[i][j]：表示 从起点到 [i,j]位置的时候，能拿到 最大价值的礼物
dp[i][j] 可以分为两种情况
第一种情况 由 [i-1,j] 位置向下走一步得到 [i][j]位置
若从起点到[i-1,j]位置 为当前的 最大价值 ，即dp[i-1][j]
则 再加上当前[i,j]位置对应的数 即为 dp[i][j]的价值
dp[i-1,j]+cost[i,j]
第二种情况 由 [i,j-1] 位置 向右走一步得到 [i][j]位置
若从起点到[i,j-1]位置 为当前的 最大价值 ，即dp[i][j-1]
则加上当前[i,j]位置对应的数 即为 dp[i][j]的价值
dp[i,j-1]+cost[i,j]
将第一种情况的价值与 第二种情况的价值进行比较，取其中大的，则为dp[i][j]的最大价值
dp[i][j]= max(dp[i-1,j]+ cost[i,j] , dp[i,j-1]+ cost[i,j]);
完整代码
class Solution {
public:
int maxValue(vector<vector<int>>& cost) {
int m=cost.size();//行
int n=cost[0].size();//列
//dp数组 扩列了一行和一列
vector<vector<int>>dp(m+1,vector<int>(n+1));
int i=0;
int j=0;
for(i=1;i<=m;i++)
{
for(j=1;j<=n;j++)
{
//cost作为原数组，而dp作为扩列数组，cost想要使用dp数组中的下标，需要减一行减一列
dp[i][j]=max(dp[i-1][j]+cost[i-1][j-1],dp[i][j-1]+cost[i-1][j-1]);
}
}
//由于是扩列数组，所以返回下标m和n的位置
return dp[m][n];
}
};
对于dp数组 start 的位置处，根据状态转移方程，
该位置的最大价值是由 上一个位置以及左一个位置的最大值加上该位置的值 得到的，
但此时 上一个位置以及左一个位置 都是虚拟的，所以理应都设置为0
由于cost数组 是原数组，而dp数组作为扩列数组，cost数组想要dp数组的下标，就需要减一行以及减一列
