最大矩形

⛅前言

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PS：作者水平有限，如有错误或描述不当的地方，恳请及时告诉作者，作者将不胜感激

🔒题目

原题链接：85.最大矩形

🔑题解

解法一：往下扩展（以当前节点作为矩形的右上角）

先构建一个sum数组（这个很重要），sum[i][j]表示第i行第j列的节点，从当前节点往左出现连续1的长度（也就是记录当前节点为矩形右上角的最大宽度），前言万语抵不过一张图，看完下面几张图我相信你能够明白的

①如下是matrix数组：

②构建sum数组（从左往右对出现连续1的节点进行自增操作）：

③以当前节点为矩形的右上角，计算节点能构成矩形的最大面积

例如，遍历第一个节点时，先以自生高度，然后往下枚举，高度加一

……

例如，枚举第10个节点时，第一层的矩形直接是3，往下扩展，此时第二层的宽是5，第一层的宽是3，以最短的宽为准，所以此时矩形的面积是6，第三层的宽是0，所以第三层不能构成一个矩形，综上，节点10能组成矩形的最大面积是6

/**
 * @author ghp
 * @title
 */
class Solution {
    public int maximalRectangle(char[][] matrix) {
        int m = matrix.length;
        int n = matrix[0].length;
        // 构建sum数组
        int[][] sum = new int[m][n];
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (matrix[i][j] == '1') {
                    if (j == 0) {
                        sum[i][j] = 1;
                    } else {
                        sum[i][j] += sum[i][j - 1] + 1;
                    }
                } else {
                    sum[i][j] = 0;
                }
            }
        }
        int ans = 0;
        // 枚举每一个节点
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                int width = sum[i][j];
                // 枚举当前节点下的所有行
                for (int k = i; k < m; k++) {
                    // 当k=i时，是当前层的高度，所以需要+1
                    int height = k - i + 1;
                    // 选所有行中的最小宽度作为当前矩形的宽度
                    width = Math.min(width, sum[k][j]);
                    // 更新最大矩形的面积
                    ans = Math.max(ans, height * width);
                }
            }
        }
        return ans;
    }
}

复杂度分析：

时间复杂度： $O(n^2)$
空间复杂度： $O (m * n)$

其中 $n$ 为数组中元素的个数

解法二：往上扩展（以当前节点作为矩形的右下角）

解法一，自上而下枚举，节点要枚举两遍，第一遍枚举构建sum数组，第二遍枚举计算节点能构成矩形的最大面积。我们可以换一种思路，自下而上枚举，在枚举节点构建sum数组的同时，还计算当前节点能构成矩形的最大面积，这样就能够省掉一遍枚举，虽然时间复杂度没有减小，但是节约了时间😄

①枚举第1个节点，得到矩形的最大面积是1：

……

②枚举10个节点，此时第10个节点的左边和上边的节点的和都计算了：

遍历第10个节点所在当前层时，矩形的宽度是3，此时矩形的面积是3，往上扩展，上一层的宽度是0，所以此时矩形的面积是0。所以此时第10个节点能够成矩形的最大面积是3

③枚举第15个节点：

当前层构成矩形的最大面积是5，往上扩展后，此时最小宽度变成了3，高度变成了2，构成矩形的最大面积是6，继续往上扩展……

最终可以得到第15个节点能够构成矩形的最大面积是6
```
/**
 * @author ghp
 * @title
 */
class Solution {
    public int maximalRectangle(char[][] matrix) {
        int m = matrix.length;
        int n = matrix[0].length;
        int[][] sum = new int[m][n];
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            // 构建sum数组
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (matrix[i][j] == '1') {
                    if (j == 0) {
                        sum[i][j] = 1;
                    } else {
                        sum[i][j] += sum[i][j - 1] + 1;
                    }
                } else {
                    sum[i][j] = 0;
                }
                int width = sum[i][j];
                // 以当前节点为矩形的右下角，往上枚举
                for (int k = i; k >= 0; k--) {
                    int height = i - k + 1;
                    // 选所有行中的最小宽度作为当前矩形的宽度
                    width = Math.min(width, sum[k][j]);
                    // 更新最大矩形的面积
                    ans = Math.max(ans, height * width);
                }
            }
        }
        return ans;
    }
}
```
复杂度分析：
- 时间复杂度： $O(n^2)$
- 空间复杂度： $O (m * n)$
其中 $n$ 为数组中元素的个数

解法三：思维转换

我们要求一个 $m * n$ 的二维数组中，连续1组成的一个最大矩形面积，如果直接来暴力枚举，可能时间复杂度很高，我们可以换一种思路，把每一列连续的1看着一个柱子，我们只需要求相邻柱子构成的最大面积，这样恒容易就想到了84题

PS：我是一路刷LeetCode热题100遇到这题的，并且是根据题号一路刷过来的，所以刚好(●’◡’●)，但是这个思路我并没有想到🤣我还有待继续努力(ง •_•)ง

温馨提示：如果你没有做过84题，建议先把84题写完再来写这一题，可能豁然开朗

关于这题的具体思路，我相信看完下面这几张图，你应该会有所了解的：

①一层一层对二维数组matrix纵向求和

②得到sum数组（从上至下对连续出现1的节点进行自增操作）：

③此时我们可以，把每一层（也就是每一行）看作一个地平线，这样就可以计算每一层相邻柱子能构成最大矩形的面积，当然还需要单独使用一个变量来记录当前全局最大矩形的面积

第一层：最大面积是4

第二层：最大面积是6

第三层……

最后通过迭代计算，可以得出martix数组中有连续1构成的矩形的最大面积是6，下面是题解代码：

import java.util.ArrayDeque;
import java.util.Deque;

/**
 * @author ghp
 * @title
 */
class Solution {
    public int maximalRectangle(char[][] matrix) {
        int m = matrix.length;
        int n = matrix[0].length;
        // 构建sum数组
        int[][] sum = new int[m + 1][n + 1];
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                sum[i][j] = matrix[i - 1][j - 1] == '0' ? 0 : sum[i - 1][j] + 1;
            }
        }
        // 遍历每一层的柱子，更新max
        int max = Integer.MIN_VALUE;
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            // 这里就可以直接调用 【84.柱状图中最大的矩形】 的方法了
            max = Math.max(max, largestRectangleArea(sum[i]));
        }
        return max;
    }

    public int largestRectangleArea(int[] heights) {
        // 创建一个临时数组，前0用于计算第一个柱子的面积，后一个0用于强制出栈（这一步超级重要）
        int[] tempArr = new int[heights.length + 2];
        for (int i = 1; i < heights.length + 1; i++) {
            tempArr[i] = heights[i - 1];
        }
        // 递增栈（栈中存储柱子的索引号，栈中的柱子的高度严格递增）
        Deque<Integer> stack = new ArrayDeque<>();
        int ans = 0;
        // 枚举当前层所有的柱子
        for (int i = 0; i < tempArr.length; i++) {
            while (!stack.isEmpty() && tempArr[i] < tempArr[stack.peek()]) {
                // 当前柱子比上一个柱子的高度要矮，不符合单调递增栈的要求，停止入栈
                // 计算最上一个柱子能构成最大矩形的面积
                int index = stack.poll();
                ans = Math.max(ans, (i - stack.peek() - 1) * tempArr[index]);
            }
            stack.push(i);
        }
        return ans;
    }
}