一、实验目的

1了解图像变换的原理；
2理解图像变换系数的特点；
3掌握图像变换的方法及应用；
4掌握图像的频谱分析方法；
5了解图像变换在图像数据压缩、图像滤波等方面的应用。

二、主要仪器设备

安装了MATLAB软件的台式或笔记本电脑

三、实验原理

（一）变换原理

1.离散傅里叶变换

对于二维离散信号，Fourier正变换定义为：

二维离散傅立叶逆变换为：

相关函数：fft2; ifft2

2.离散余弦变换

正变换公式为：

逆变换公式为：

相关函数：dct2; idct2

3.频谱平移

相关函数：fftshift； ifftshift
例题：
图像的二维离散傅立叶变换
I=imread(‘coins.png’); %读入原图像文件
imshow(I); %显示原图像
fftI=fft2(I); %二维离散傅立叶变换
sfftI=fftshift(fftI); %直流分量移到频谱中心
RR=real(sfftI); % real(A)为取复数A的实部
II=imag(sfftI); %imag(A)为取复数A的虚部
A=sqrt(RR.^ 2+II.^2); %计算频谱幅值
B=abs(sfftI);
I1=ifft2(fftI); %重建原图像
figure; %创建窗口
imshow(uint8(A)); %显示原图像的频谱

（二）频谱分析原理

图像变换是能量的重新分配。频率域中低频部分对应的是图像中的平滑部分（灰度变化缓慢的区域，）高频部分对应的是图像中的边缘、细节或噪声部分。
本实验主要函数：
fft2; ifft2; dct2; idct2; abs; angle; fftshift; ifftshift; imshow ; subplot; title

四、实验步骤和内容

1. 为下面三段程序写出注释并上机运行，将实际运行结果如实记录到实验报告，并分析三段程序的不同之处，并解释第一段程序出现问题的原因。

（1）f = imread ( ‘pout.tif’);
F=fft2(f);
S=abs(F);
imshow(S);
f1=ifft2(F);
figure;imshow(f1);

（2）f1 = imread (‘pout.tif’);
f=im2double(f1);
F=fft2(f);
S=abs(F);
imshow(uint8(S));
f1=ifft2(F);
figure;imshow(f1);

（3）f1 = imread (‘pout.tif’);
f=im2double(f1);
F=fft2(f);
S=uint8(abs(F));
imshow(S);
S1=fftshift(F);
figure;imshow(uint8(abs(S1)));
f11=ifft2(F);
figure;imshow(f11);

2.选取一幅标准测试图像实现傅里叶变换。

（1）读图图像；
（2）显示原图像；
（3）进行傅里叶正变换；
（4）获取其幅度谱和相位谱；
（5）利用逆变换对图像进行重建。

3.频谱平移

选取一幅灰度图像，对其进行傅里叶变换、频谱平移、频谱逆平移、傅里叶逆变换，并在同一窗口中同时显示原图像、傅里叶变换频谱、频谱平移图像、逆平移频谱图像及傅里叶逆变换图像并按上述名称命名。将程序及效果图记录入实验报告。

4. 选取一幅标准测试图像实现离散余弦变换。

（1）读图图像；
（2）显示原图像；
（3）进行离散余弦正变换；
（4）利用逆变换对图像进行重建；
（5）对（3）中的系数进行取舍。
（6）用（5）中得到的系数矩阵对图像进行重建（逆变换），得到新图像；
（7）在同一窗口显示原图像、频谱图、直接重建图像、改变系数后的重建图像；
（8）分析两个重建的图像的图像质量变化以及产生的原因。
离散余弦变换后，将低频分量其中到了左上角，所以程序中是保留了左上角33*33的小矩阵的信息量，而其他信息都舍弃了，因此重建后的图像变得模糊了。

5.记录和整理实验报告。

五、思考题

1.傅里叶变换有哪些重要的性质?
可以将低频和高频信号区分开来，将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数。
2.离散余弦变换与傅里叶变化相比有哪些优势？
离散余弦变换首先低频信号都是集中在左上角，并且相对于傅里叶变换是不用进行频谱搬移的
3.观察图像变换后的频谱矩阵系数，总结变换后系数分布特点。
都是双精度，并且落在(-1,1)的区间

六、实验代码

%% 1.1
f = imread ('pout.tif'); 
f = im2double(f)  %没有对图像进行归一化（为什么进行归一化?）
F=fft2(f);       
S=abs(F);      
imshow(uint8(S)); %没有对复数模值进行[0,255]进行映射          
f1=ifft2(F);
figure;imshow(f1);

%% 1.2 
f1 = imread ('pout.tif'); 
f=im2double(f1); %将图像转换为双精度（归一化）
F=fft2(f); % 进行傅里叶变化
S=abs(F);  % 对复数取模值
imshow(uint8(S));  % 将数据映射到[0,255](频谱图)并显示
f1=ifft2(F); % 对傅里叶进行逆变换
figure;imshow(f1);  % 显示

%% 1.3 
clc,clear
close all
f1 = imread ('pout.tif'); 
f=im2double(f1); 
F=fft2(f);
S=uint8(abs(F));           
imshow(S);
S1=fftshift(F); %频谱平移，将直流分量移到频谱中心
figure;imshow(uint8(abs(S1)));
f11=ifft2(F);
figure;imshow(f11);

%% 2
clc,clear
close all
f = imread ('pout.tif');
f_y = im2double(f);
f_n = fft2(f);   % 未im2double的傅里叶变换
f_y = fft2(f_y); % 经过im2double的傅里叶变换

RR_y = real(f_y); %实部
II_y = imag(f_y); %虚部
RR_n = real(f_n);
II_n = imag(f_n);

A_y = sqrt(RR_y.^2+II_y.^2); % 求取距离（频谱）
B_y = angle(f_y);            % 求取相位
C_y = abs(f_y);              % 求取距离

A_n = sqrt(RR_n.^2+II_n.^2);
B_n = angle(f_n);
C_n = abs(f_n);

S_y = fftshift(f_y);         %频谱平移
S_n = fftshift(f_n);


figure
subplot(2,3,1);imshow(f);xlabel('原图像')
subplot(2,3,2);imshow(A_y);xlabel('幅度谱');title('经过im2double处理')
subplot(2,3,3);imshow(B_y);xlabel('相位谱')
subplot(2,3,4);imshow(uint8(A_y));xlabel('频谱图')
subplot(2,3,5);imshow(uint8(abs(S_y)));xlabel('频谱平移图')
subplot(2,3,6);imshow(ifft2(f_y));xlabel('图像进行重建')


% figure
I_y = ifftshift(S_y);
I_n = ifftshift(S_n);
figure
subplot(1,2,1);imshow(uint8(abs(I_y)));xlabel('y_逆平移')
subplot(1,2,2);imshow(uint8(abs(I_n)));xlabel('n_逆平移')
%% 3
f1 = imread ('pout.tif'); 
f=im2double(f1); % 0-1变小；
F=fft2(f1);
F1 = fft2(f)
S=uint8(abs(F));           
S1=fftshift(F); %频谱平移，将直流分量移到频谱中心
S2=ifftshift(S1);
f11=ifft2(F);
figure
subplot(2,3,1);imshow(f1);xlabel('原图像')
subplot(2,3,2);imshow(S);xlabel('傅里叶变换频谱')
subplot(2,3,3);imshow(uint8(abs(S1)));xlabel('频谱平移图像')
subplot(2,3,4);imshow(uint8(abs(S2)));xlabel('逆平移频谱图像')
subplot(2,3,5);imshow(uint8(f11));xlabel('傅里叶逆变换图像')

%% 4
f = imread ('pout.tif');
f1 = im2double(f);
f_dct = dct2(f1);
f_idct = idct2(f_dct);
Z = zeros(291,240);
Z(1:33,1:33) = 1;
f_dct_d = Z.*f_dct;
f_idct_d = idct2(f_dct_d);
figure
subplot(2,2,1);imshow(f);xlabel('原图像')
subplot(2,2,2);imshow(abs(f_dct));xlabel('频谱图')
subplot(2,2,3);imshow(f_idct);xlabel('直接重建图像')
subplot(2,2,4);imshow(f_idct_d);xlabel('改变系数后重建图像') 

七、实验图像