文章目录
- Part.I Introduction
- Part.II 误差方程的探讨
- Chap.I 符号表示
- Chap.II 误差方程的含义
- Chap.III 误差方程的其他形式
- Chap.IV 平差的大致流程
- Part.III 误差方程的表示形式
Part.I Introduction
在平时阅读文献或者整理笔记时,经常会看到各种各样的有关误差方程的表述。因为不同学者习惯不同,所以可能会造成一定的困扰。阅读的时候还好,写作的时候往往会因为过于苛求正确性而自己把自己搞晕。为了防止下一次蒙圈,就花点时间好好梳理一下思路。希望这篇博文能尽量地把握误差方程的『本质』。
此乃笔者的个人理解,仅供参考。由于笔者水平有限,不当之处还望不吝赐教。
Part.II 误差方程的探讨
Chap.I 符号表示
下面是常用的记号
- L L L:观测值
- X X X:待估参数
- X 0 X^0 X0:待估参数估值
- B B B:设计矩阵
- Δ \Delta Δ:观测噪声,真误差
- x x x:待估参数改正数 X − X 0 X-X^0 X−X0
- l l l:观测值与泰勒展开 0 阶项之差 L − f ( X 0 ) L-f(X^0) L−f(X0)
- v v v:观测值的改正数,用于补偿观测误差 Δ \Delta Δ
- P P P:权阵
Chap.II 误差方程的含义
下面从原始观测方程出发,对误差方程的表达式进行推导。
设观测值
L
L
L 和待估参数
X
X
X 具有如下关系:
L
=
f
(
X
)
L=f(X)
L=f(X)
首先假设待估参数初值为
X
0
X^0
X0,基于此对函数进行线性化,忽略二次以上项,并考虑到观测噪声
Δ
\Delta
Δ,于是有
L
=
f
(
X
0
)
+
B
(
X
−
X
0
)
+
Δ
L=f(X^0)+B(X-X^0)+\Delta
L=f(X0)+B(X−X0)+Δ
实际上,这里的
Δ
\Delta
Δ 不仅包含了观测噪声,还包含了泰勒展开忽略二次及以上项引入的误差。记
l
=
L
−
f
(
X
0
)
l=L-f(X^0)
l=L−f(X0),待估参数改正数为
x
=
X
−
X
0
x=X-X^0
x=X−X0,并引入观测值的改正数
v
v
v 用于补偿真误差
Δ
\Delta
Δ(即
v
=
−
Δ
v=-\Delta
v=−Δ),于是
−
Δ
=
B
(
X
−
X
0
)
−
(
L
−
f
(
X
0
)
)
-\Delta=B(X-X^0)-(L-f(X^0))
−Δ=B(X−X0)−(L−f(X0))
便可写为:
v
=
B
x
−
l
v=Bx-l
v=Bx−l
此乃大名鼎鼎的误差方程。
Chap.III 误差方程的其他形式
注意:根据上面的误差方程,我们基于最小二乘准则求得的解
v
=
(
B
T
P
B
)
−
1
B
T
P
l
v=(B^TPB)^{-1}B^TP\ l
v=(BTPB)−1BTP l
并不是待估参数,而是待估参数的改正数。也就是说,我们直接求的并不是待估参数,而是待估参数的改正数。
另外,基于式
(
L
−
f
(
X
0
)
)
−
Δ
=
B
(
X
−
X
0
)
(L-f(X^0))-\Delta=B(X-X^0)
(L−f(X0))−Δ=B(X−X0)
一般假设
Δ
\Delta
Δ 服从正态分布,也就是说它的期望为 0,于是误差方程还可以写为下面的形式。
E
(
l
)
=
B
x
E(l)=Bx
E(l)=Bx
其中
E
(
⋅
)
E(·)
E(⋅) 表示求期望算子,这种形式,笔者觉得比较简洁,也是目前笔者比较倾向使用的形式。
因为我们的目的是求待估参数
X
X
X,并不是待估参数的改正数
x
x
x,若用
x
x
x 表示的话,叙述起来不免有些麻烦;并且
X
=
X
0
+
x
X=X^0+x
X=X0+x,
X
X
X 与
x
x
x 只是相差了一个常数
X
0
X^0
X0。所以,就出现了下面这种误差方程的表示形式:
E
(
l
)
=
B
X
E(l)=BX
E(l)=BX
v
=
B
X
−
l
v=BX-l
v=BX−l
注意,这两种表示形式理论上并不严格,只是出于书写方便,遇到了,要明白式中的
X
X
X 实际上指的是
x
x
x。
Chap.IV 平差的大致流程
笔者印象当中的平差是下面的流程,关于得到
x
x
x 后更不更新
B
B
B 矩阵,这是一个值得思考的问题。
Part.III 误差方程的表示形式
基于上,下面对误差方程的表示形式进行一个汇总整理
v
=
B
x
−
l
v=Bx-l
v=Bx−l
E
(
l
)
=
B
x
E(l)=Bx
E(l)=Bx
E
(
l
)
=
B
X
E(l)=BX
E(l)=BX
v
=
B
X
−
l
v=BX-l
v=BX−l
上面两个是理论上的表述方式,下面两个是出于方便描述而作的微调。