dpmsolver 论文核心整理

news2024/11/13 4:26:58

推导

DPM-Solver1的误差

由正文所述:
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利用泰勒展开:
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B.3式就是换了个元 δ = λ − λ s λ t − λ s \delta=\frac{\lambda-\lambda_s}{\lambda_t-\lambda_s} δ=λtλsλλs,代入论文公式(3.4)的积分项(不含系数),这里先对B.4式简单代一下,注意到 h = λ t − λ s h=\lambda_t- \lambda_s h=λtλs
∫ λ s λ t e − λ ϵ ^ ( x ^ λ s , λ s ) d λ = ∫ 0 1 e − ( h δ + λ s ) ∑ k = 0 n δ k ⋅ h k k ! ϵ ^ ( k ) ( x ^ λ s , λ s ) h ( d δ ) \int_{\lambda_s}^{\lambda_t}e^{-\lambda}\hat\epsilon(\hat x_{\lambda_s},\lambda_s)d\lambda= \int_{0}^{1}e^{-(h\delta + \lambda_s)}\sum_{k=0}^{n} \frac{\delta^k ·h^k}{k!} \hat \epsilon^{(k)}(\hat x_{\lambda_s},\lambda_s)h(d\delta) λsλteλϵ^(x^λs,λs)dλ=01e(hδ+λs)k=0nk!δkhkϵ^(k)(x^λs,λs)h(dδ)
= ∫ 0 1 e ( 1 − δ ) h − ( h + λ s ) ∑ k = 0 n δ k ⋅ h k k ! ϵ ^ ( k ) ( x ^ λ s , λ s ) h ( d δ ) = σ t α t ∫ 0 1 e ( 1 − δ ) h ∑ k = 0 n h k + 1 δ k k ! ϵ ^ ( k ) ( x ^ λ s , λ s ) d δ = σ t α t ∑ k = 0 n h k + 1 ∫ 0 1 [ δ k k ! ϵ ^ ( k ) e ( 1 − δ ) h ] ϵ ^ ( k ) ( x ^ λ s , λ s ) d δ = σ t α t ∑ k = 0 n h k + 1 φ k + 1 ( h ) ϵ ^ ( k ) ( x ^ λ s , λ s ) d δ =\int_{0}^{1}e^{(1-\delta )h -(h+\lambda_s)}\sum_{k=0}^{n} \frac{\delta^k ·h^k}{k!} \hat \epsilon^{(k)}(\hat x_{\lambda_s},\lambda_s)h(d\delta)\\ =\frac{\sigma_t}{\alpha_t}\int_{0}^{1}e^{(1-\delta )h}\sum_{k=0}^{n} h^{k+1}\frac{\delta^k }{k!} \hat \epsilon^{(k)}(\hat x_{\lambda_s},\lambda_s)d\delta\\ =\frac{\sigma_t}{\alpha_t}\sum_{k=0}^{n} h^{k+1}\int_{0}^{1}[\frac{\delta^k }{k!} \hat \epsilon^{(k)}e^{(1-\delta )h}] \hat \epsilon^{(k)}(\hat x_{\lambda_s},\lambda_s)d\delta\\ =\frac{\sigma_t}{\alpha_t}\sum_{k=0}^{n} h^{k+1}\varphi_{k+1}(h) \hat \epsilon^{(k)}(\hat x_{\lambda_s},\lambda_s)d\delta =01e(1δ)h(h+λs)k=0nk!δkhkϵ^(k)(x^λs,λs)h(dδ)=αtσt01e(1δ)hk=0nhk+1k!δkϵ^(k)(x^λs,λs)dδ=αtσtk=0nhk+101[k!δkϵ^(k)e(1δ)h]ϵ^(k)(x^λs,λs)dδ=αtσtk=0nhk+1φk+1(h)ϵ^(k)(x^λs,λs)dδ
其中 φ k ( z ) \varphi_{k}(z) φk(z)的定义如附录的B.2所示:
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从而根据上面的推导,得到了B.4式
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至于为什么要这样配凑,文中给出了参考文献。(之后再看看)

注意以下结论成立,在推导DPM-Solver2会用到
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下面说明了k=1时候的误差,主要是利用已得到的B.4式验证3.7式的估计
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由最后一行将 x t i x_{t_i} xti移动一下,那么对右式不断重复即可。

DPM-Solver2的误差

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论文的叙述方式是假设算法4成立了,直接验证误差了。
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如果考虑是如何构造出DPM-Solver2的,对于这个算法的个人理解是这样的。
首先DPM-Solver-1已经保证了是O(h),自然只需要考虑 x ^ t \hat x_t x^t的泰勒展开中的第n=1项,也就是一阶导数项,但这个导数不能求。于是得想个法子抹掉他还使得估计又不错。
注意到 h 2 φ 2 ( h ) = e h − h − 1 h^2 \varphi_2(h)=e^h - h - 1 h2φ2(h)=ehh1已经是 O ( h 2 ) O(h^2) O(h2)的了,那么实际上DPM-Solver-2只需要估计 x ^ t − x t \hat x_t-x_t x^txt中含 h 2 ε ( 2 ) h^2 \varepsilon^{(2)} h2ε(2)的项就可以了。
与此相仿,注意到 h φ 1 ( h ) = e h − 1 h \varphi_1(h)=e^h-1 hφ1(h)=eh1也已经是 O ( h ) O(h) O(h)了,那就巧了,我能不能构造选取那个离 λ s \lambda_s λs r 1 h r_1h r1h远的点来近似呢?于是可以用$ h 2 φ ( h ) h^2\varphi(h) h2φ(h)来估计一下 φ 2 \varphi_2 φ2呢?自然是可以(因为假设了利普西茨条件),于是这里选取的就是 λ s 1 − λ s = r 1 h \lambda_{s_1}-\lambda_s=r_1h λs1λs=r1h,这样就行了,也不需要真的去计算这个一阶导数。
但上面的关键点就在于这个 φ \varphi φ函数的构造和利普西茨条件的有界

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